El ideal para la imagen de la incrustación de Segre

Question

Cómo mostrar el ideal $(X_{ij}X_{kl}-X_{il}X_{kj})_{0\le i,k\le m, 0\le j,l\le n}\subset k[X_{ij}]_{0\le i\le m, 0\le j\le n}$ ¿es radical? Puedo demostrar que el lugar cero definido por el ideal es la imagen de $\mathbf{P}_k^{m-1}\times\mathbf{P}^{n-1}_k\to\mathbf{P}_k^{mn-1}$ pero creo que esto no implica que el ideal sea radical. (La misma pregunta para las relaciones definitorias cuadráticas para la incrustación de Plücker, ¿por qué generan un ideal radical?)

Answer 1

$k[X_{ij}]_{0\le i\le m, 0\le j\le n}/(X_{ij}X_{kl}-X_{il}X_{kj})_{0\le i,k\le m, 0\le j,l\le n}$ es isomorfo al producto de Segre de dos anillos polinómicos en $m+1$ , respectivamente $n+1$ indetermina sobre $k$ ver aquí . Éste es a su vez un subring de su producto tensorial, y por tanto un dominio integral.