Subconjunto cerrado de polinomios en el espacio de funciones

Question

No para los deberes, estoy tratando de auto-estudiar el análisis funcional y me encontré con el siguiente problema.

Dejamos que $C[0,1/2]$ las funciones continuas definidas en ese subconjunto de la recta real. Observamos un subespacio de $C[0,1/2]$ que consiste en todos los polinomios en $[0,1/2]$ y llamarlo $W$ . Dado $\delta>0$ conjunto.

$g(x)=\delta\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}x^n$

Donde $x\in[0,1/2]$ . En primer lugar, tenemos la tarea de demostrar que $g$ está en el balón abierto $B(0,\delta)$ . Supongo que esto se hace mostrando que la norma de $g$ debe ser menor que delta (estamos utilizando la norma supremum heredada de $C[0,1/2]$ ). Pero a partir de ese resultado, se nos pide que lo utilicemos para concluir que $W$ no puede ser un subconjunto abierto de $C[0,1/2]$ . Así que debo mostrar que para algunos $w\in W$ no hay $\epsilon$ , tal que una bola abierta $B(v,\epsilon)$ está en $W$ ? No estoy seguro de cómo se deduce lo anterior.

Answer 1

$\|g\| < \delta \sum_{n=1}^{\infty} \frac 1 {2^{n}}= \delta$ . Esto demuestra la primera parte. Ahora, supongamos $W$ es abierto . Como el polinomio cero está en $W$ debe existir $\delta >0$ tal que $B(0,\delta) \subset W$ . Considere la $g$ correspondiente a este $\delta$ . Entonces $g \in B(0,\delta)$ por lo que debemos tener $g \in W$ . ¿Se da cuenta de que esto es una contradicción? [Es un hecho conocido que si $\sum a_n x^{n}$ converge para $|x| \leq r$ y si la suma es cero para todos esos $x$ el $a_n=0$ para todos $n$ ].

Answer 2

(1). Supongamos que $Y$ es un subespacio vectorial de un espacio lineal normado $X$ y que $Y$ tiene un interior no vacío. Entonces $ Y=X:$ Para algunos $r>0$ tenemos $B(0,r)\subset Y,$ pero luego ( porque $Y$ es un espacio vectorial), $Y\supset \cup_{n\in \Bbb N}\{nv: v\in B(0,r)\}=\cup_{n\in \Bbb N}B(0,nr)=X.$

La razón $B(0,r)\subset Y$ para algunos $r>0$ es que para algunos $y\in Y$ y algunos $r>0$ tenemos $B(y,r)\subset Y,$ y como $Y$ es un espacio vectorial tenemos $Y\supset \{y'-y:y'\in B(y,r)\}=B(0,r). $

(2). $W$ es un subespacio vectorial de $C[0,1/2],$ para demostrar que $W$ tiene el interior vacío en $C[0,1/2]$ basta con mostrar $W\ne C[0,1/2].$ Dejemos que $f(t)=|t-1/4|$ para $t\in [0,1/2]$ . Entonces $f\in C[0,1/2],$ pero $f$ no es un polinomio porque $f(t)$ no es diferenciable en $t=1/4$ .