Dejemos que $A$ sea un dominio Dedekind, $S$ un subconjunto cerrado multiplicativo de $A$ . Demostrar que $S^{-1}A$ es un dominio Dedekind o el campo de fracciones de $A$ .
Intento: $A$ es un dominio noetheriano integralmente cerrado de dimensión uno. Entonces sabemos que $S^{-1}A$ es integralmente cerrado y noetheriano. $S^{-1}A$ un dominio ya que está contenido en el campo de las fracciones $K$ de $A$ . Después de eso, ¿cómo proceder?
La localización $S^{−1}A$ es normal porque $A$ es. Además, cualquier localización no nula de un dominio noetheriano es un dominio noetheriano.
Queda por demostrar que $S ^{−1}A$ es un campo o de dimensión $1$ . Supongamos que es no es un campo. Entonces existe $0\neq f ∈ A\setminus S$ . Así, ( $\frac{f}{1}) ⊂ S^{−1}A$ es un ideal propio no nulo ideal propio y, por tanto, está contenido en algún ideal maximal de $S^{−1}A$ . Esto demuestra que $\dim(S^{−1}A) > 1$ . Por otro lado, la correspondencia uno a uno de los ideales primos ideales de $S^{−1}A$ y los ideales primos de $A$ que tienen una intersección vacía con $S$ es preservador de la inclusión; por lo tanto $\dim(S^{−1}A)\leq \dim A = 1$
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