¿Por qué se considera improbable que pueda haber una contradicción en ZF/ZFC?

Question

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Ninguna respuesta aborda la cuestión del "cuello de botella". No me sorprende porque la pregunta es vaga. Pero me gustaría saber si esa es efectivamente la razón, o tal vez algo más. La pregunta me resulta interesante y agradecería cualquier ayuda con ello.

PARTE PRINCIPAL:

Lamentablemente, esta pregunta será un poco imprecisa debido a su naturaleza y a mis limitaciones. Me gustaría pedir su comprensión y ayuda con la formulación, si son posibles.

Sé (aunque sin conocer la prueba) que no se puede demostrar la consistencia de ZF o ZFC dentro de estas teorías, pero sí su inconsistencia si son inconsistentes. He leído -para mi alivio- que se considera poco probable que sean inconsistentes. Me gustaría entender mejor esta afirmación.

Un simple argumento que se me ocurre es que hasta ahora no se ha encontrado ninguna contradicción, a pesar de que las teorías han sido ampliamente investigadas. Pero esto solo me parece un poco débil. El espacio de todas las afirmaciones demostrables en ZF o ZFC es claramente infinito. He observado que cuando los matemáticos hacen afirmaciones sobre la probabilidad de la verdad de las afirmaciones sobre elementos de clases infinitas, suelen dar argumentos más finos que la simple verdad de la afirmación para los elementos de alguna subclase finita. Por ejemplo, muchos matemáticos parecen creer que la conjetura de Goldbach es cierta, y basan su creencia en teoremas sobre la distribución de los números primos en los números naturales.

¿Existen argumentos de este tipo (por desgracia, no parece que pueda definir lo que significa "este tipo" con precisión aquí) para que no haya una contradicción en ZF o ZFC? He estado pensando en cómo podría ocurrir que realmente hubiera sea una contradicción en, digamos, ZF. Creo que podríamos definir la "longitud" de un teorema en ZF como el número mínimo de símbolos en una prueba del teorema. (Si suponemos que ZF es inconsistente, entonces la prueba de su inconsistencia tiene una longitud finita, digamos $n$ . Para cada número natural $k$ existe un número finito de teoremas de longitud máxima $k$ por lo que deberíamos ser capaces de saber cuándo hemos demostrado todos los teoremas de longitud máxima $k$ . La comunidad matemática ha demostrado muchos teoremas en ZF. ¿Se sabe hasta dónde hemos llegado en esta escala? Por ejemplo, ¿hemos superado $k=10$ ? Dejemos que $m$ sea el mayor número natural tal que todos los teoremas de longitud como máximo $m$ son conocidos. Claramente, $n$ tendría que ser mayor que $m$ .

Pero creo que muchos teoremas deben haber sido demostrados con una longitud mayor que $m$ . ¿Podemos hablar con sentido de la posibilidad de acertar la prueba de la contradicción de ZF haciendo razonamientos correctos aleatorios de longitud $\geq n$ ? He tratado de definir un "cuello de botella de inferencia" que pueda hacer que la contradicción sea difícil de alcanzar, pero he fracasado. Como no lo he definido, puede ser difícil o imposible entender lo que quiero decir con "cuello de botella de inferencia", pero espero que no sea así. Me refiero a un teorema que se puede demostrar sólo con un "pequeño" número de razonamientos, sólo que me cuesta decir exactamente en comparación con qué debe ser pequeño.

Me gustaría preguntar si realmente es posible definir esos "cuellos de botella" y, en caso afirmativo, si sería posible demostrar que no pueden ser demasiado estrechos. Estoy pensando que tal teorema podría ser un argumento más convincente para que no haya una contradicción en ZF.

Y la pregunta más general, por reiterarla, es qué otros argumentos dan los matemáticos (¿o los filósofos?) para que ZF y ZFC sean consistentes. Me parece que la creencia en la consistencia de esas teorías es muy fuerte entre los matemáticos, aunque tienden a ser muy cuidadosos a la hora de decir cosas sobre otras afirmaciones no probadas. ¿Por qué?

Answer 1

La ZFC pretende captar una determinada noción, la jerarquía acumulativa de los conjuntos. Para que esta justificación tenga sentido hay que pensar en el "buen ordenamiento" u "ordinal" como un concepto matemático preexistente, no uno basado en ZFC. Esta justificación se explica con más detalle en el artículo de Shoenfield en el Manual de lógica matemática de 1977, y en otros lugares. Se remonta a principios del siglo XX.

Suponiendo que tenemos una colección de "ordinales" $O$ que es cerrado hacia abajo y tiene un elemento mínimo $0$ podemos definir una colección $V^O$ de la siguiente manera.

• $V^O(0) = \emptyset$

• Si $\alpha + 1$ está en $O$ entonces $V^O(\alpha + 1)$ es el conjunto de potencias $V^O(\alpha)$

• Si $\lambda$ es un ordinal límite en $O$ entonces $V^O(\lambda)$ es el conjunto de potencias de $\bigcup_{\alpha < \lambda} V^O(\alpha)$

Finalmente, $V^O$ mismo es $\bigcup_{\alpha \in O} V^O(\alpha)$ . La manera informal de decirlo es: pensar en los elementos de $O$ como "etapas". A continuación, un conjunto se pondrá en $V^O$ en la etapa $\alpha$ si todos sus elementos ya han aparecido en etapas anteriores a $\alpha$ .

Podemos preguntar: ¿qué axiomas de la teoría de conjuntos $V^O$ ¿Satisfacer?

• $V^O$ contendrá el conjunto vacío siempre que $O$ tiene al menos dos elementos, porque el conjunto vacío aparece en $V^O(1)$ .

• $V^O$ satisfará el axioma de separación. Para ver esto, supongamos $z \in V^O$ y que queremos demostrar que $y = \{x \in z : \phi(x)\}$ está en $V^O$ . Bueno, $z$ se formó en algún momento, por lo que todos los elementos de $z$ se formaron en etapas anteriores. Pero esto significa que todos los elementos de $y$ también se formaron en etapas anteriores a la que $z$ se formó, por lo que $y$ se formará a más tardar $z$ .

• Todo subconjunto de un conjunto $z$ se forma al mismo tiempo que $z$ se forma. Por lo tanto, el conjunto de potencias de $z$ se formará en la etapa posterior a $z$ se forma, suponiendo que haya una siguiente etapa. Por lo tanto, si $O$ no tiene ningún elemento máximo, entonces $V^O$ satisface el axioma del conjunto de potencias.

Estos ejemplos sugieren que los axiomas que satisfacen $V^O$ dependerá de lo "largo" que sea $O$ es. De hecho, resulta que si asumimos propiedades suficientes sobre $O$ entonces podemos argumentar de manera similar que $V^O$ satisface todos los axiomas de ZFC. En particular, si dejamos que $O$ contienen todo los ordinales, entonces $V^O$ satisfará ZFC, y normalmente sólo escribimos $V$ en lugar de $V^O$ en este caso. Este $V$ basado en todos los ordinales será una clase propia, no un conjunto.

Este argumento no puede ser capturado en ZFC en sí, aunque varias propiedades de la jerarquía acumulativa pueden ser capturadas en ZFC. Pero el argumento da alguna motivación para que ZFC sea consistente, al dar una concepción de los conjuntos (como elementos de $V$ ) que parece intuitivamente razonable. De hecho, parece que todo lo que necesitamos para formar $V$ es una colección bien determinada de ordinales, la capacidad de tomar conjuntos de potencias, la capacidad de tomar uniones y la capacidad de iterar estas operaciones a lo largo de los ordinales.

Entonces, ¿dónde podría ser inconsistente ZFC, incluso si este argumento es correcto? Un lugar es el axioma de separación. En el argumento anterior asumimos que $\{x \in z : \phi(x)\}$ en realidad define un subconjunto de $z$ siempre que $\phi$ es una fórmula de la teoría de conjuntos. Si de alguna manera hubiera fórmulas $\phi$ que no determinan subconjuntos de $z$ nuestro argumento de por qué el axioma de separación se mantiene en $V$ no se puede pasar. Hay un cierto sentido en el que el argumento anterior está demostrando la consistencia de ZFC de segundo orden en lugar de ZFC de primer orden, al igual que la prueba informal de la consistencia de la aritmética de Peano que dice " $\mathbb{N}$ es un modelo" es realmente una prueba de consistencia para la AP de segundo orden en lugar de la AP de primer orden.

Answer 2

No soy un teórico del juego, así que esta es una opinión ligeramente ingenua.

1) Como usted dice, mucha gente ha estado explorando las consecuencias de ZF(C) durante unos 100 años, sin haber encontrado todavía una contradicción.

Lo mencionas en tu respuesta y añades que no te parece muy convincente. Creo que lo es en cierto sentido muy convincente, pero no el sentido habitual de las matemáticas. Si se piensa en ello, las pruebas inductivas sólidas son las más convincentes que tenemos para la mayoría de las cosas fuera de las matemáticas. Además, estamos dispuestos a apostar por este tipo de especulaciones: creemos, por ejemplo, que la factorización de números es un problema computacionalmente intratable. ¿Por qué lo creemos? Hasta donde yo sé, la mejor razón es que la gente lleva cientos de años tratando de encontrar métodos de factorización eficientes y aún no lo ha conseguido. No conozco ningún "programa" que demuestre esta creencia sobre la factorización (sería refutado Por supuesto, si resulta que $P = NP$ (¡pero muy poca gente lo cree!) ¡Pero de todos modos, esta creencia es lo suficientemente buena como para que hayamos hecho que gran parte de la seguridad bancaria y gubernamental contemporánea dependa de la dificultad del factoring!

2) Antes de la teoría axiomática de conjuntos de ZF(C) la gente tenía ideas intuitivas sobre los conjuntos, y por cierto, todavía las tenemos. Si interpreto los axiomas de la teoría de conjuntos de ZF(C) como axiomas sobre los conjuntos en los que pienso y utilizo todos los días, entonces son todas afirmaciones que estoy bastante seguro de que son verdaderas. A través del Teorema de Completitud de Godel, cualquier sistema de axiomas que sea formalmente consistente puede demostrarse como tal mostrando un modelo. En otras palabras, cuando nos preocupa que un sistema formal sea inconsistente, nos preocupa precisamente que no tenga modelo. Con ZF(C) tenemos un sistema de axiomas basado en un modelo informal que la mayoría de nosotros ya tenemos en la cabeza. (De hecho, para ser sinceros, la mayoría de los matemáticos en activo saben sólo el modelo intuitivo de conjuntos, no los axiomas de ZF(C)). Ahora bien, un "modelo informal" no es un modelo en el sentido de la lógica matemática: ¡ni siquiera es un objeto matemático! Pero como intuición, parece convincente: los sistemas de axiomas que se eligen para modelar algo que ya creo que existe no son los sistemas de axiomas en los que me preocupa derivar una contradicción formal.

Desgraciadamente, la intuición -especialmente, la intuición ingenua o no probada- en matemáticas a menudo resulta ser errónea, lo que me lleva de nuevo a mi primer punto. Si algo que creo profundamente que es cierto ha resistido un siglo de ataques formales, entonces sí, me siento bastante bien con ello. Sería mejor si pudiéramos demostrarlo, pero aparentemente no es así como funciona...

Answer 3

Hay mucho tiempo para que aparezcan problemas. Hay que recordar que la historia de las matemáticas anterior a la teoría de conjuntos existió durante numerosos milenios y una serie de abstracciones a lo largo del tiempo condujeron a la teoría de conjuntos de Cantor. Poco después surgió la paradoja de Russell y, por tanto, la necesidad de algo como la ZFC, que sólo existe desde hace unos 100 años. Se cree que es consistente por numerosas razones: captura prácticamente toda la matemática precedente en un único lenguaje formal (ZFC), lo cual es toda una hazaña, y tenemos numerosos " consistencia relativa "Los resultados que muestran la consistencia de numerosos sistemas más débiles implican la consistencia de ZFC. Lamentablemente, debido a los resultados de Gödel No podemos probar la consistencia de ZFC dentro de ZFC, así que esto es lo mejor que podemos hacer.

Realmente no hemos utilizado demasiado la jerarquía cardinal en términos de "uso común". No es necesario $\aleph_{\omega}$ ¡para construir un puente! ¿Hay alguna "matemática aplicada" que pase de utilizar la cardinalidad del continuo? Quizá la cardinalidad del conjunto de potencias del continuo se utilice en algún análisis funcional, pero en ese punto ya está bastante menos explorada que las cardinalidades inferiores con las que estamos familiarizados. Lo que quiero decir es que hay un montón de ZFC que queda prácticamente sin explorar y con el que podemos encontrarnos con problemas desagradables que no podemos ni siquiera anticipar. Quizás cuando no encontremos ningún problema hasta que necesitemos pensar y usar rutinariamente $\aleph_{\epsilon_0}$ ¡!

Answer 4

Voy a convertir tu pregunta en otra, ¿crees en la consistencia de los axiomas de Peano (de aquí simplemente PA)? Si la respuesta es sí, entonces tienes que saber que ZF sin el axioma de infinito es lógicamente equivalente a PA (lo que significa que hay una interpretación invertible de ZF-infinito en PA). Así que ZF sin axioma de infinito es consistente si y sólo si el PA es consistente, y si crees en la consistencia del PA tienes que creer en la consistencia de ZF sin el axioma de infinito. Es evidente que ZF sin infinito carece de dos axiomas fundamentales, a saber, el axioma del infinito y el axioma de la elección. El axioma de elección se ha demostrado que es independiente de los otros axiomas de ZF, por lo que si hubiera una contradicción en ZFC habría una en ZF: lo que significa que la elección no cambia la consistencia. Por lo tanto, el único axioma que podría llevar a la inconsistencia en ZF(C) debería ser el axioma del infinito, pero si quieres utilizar una teoría de conjuntos que utilice todos los demás axiomas y proporcione la existencia de conjuntos infinitos, como el conjunto de los números naturales, tienes que añadir axiomas de infinito a tu sistema. Obsérvese que por sí mismo el axioma de infinito podría ser consistente (por ejemplo si crees en la existencia de un modelo que contenga el conjunto de los números naturales, el problema es si es consistente con los otros axiomas de ZF(C), me parece muy razonable que este axioma si sea consistente con un montón de axiomas de ZF(C) [extensionalidad, emparejamiento, unión, conjunto de potencias,...] y hasta ahora no veo ninguna razón para la inconsistencia de ZF(C).