Nodos equipotenciales en un circuito

Question

En una pregunta, nos piden que calculemos la resistencia equivalente entre los puntos A y B del siguiente circuito.

Para ello el primer paso que implica la solución es que el potencial en los puntos $ C$ , $C_1$ & $C_2$ son iguales: esto es lo que no entiendo.

Supongamos que la corriente fluye desde el punto A; entonces fluye una corriente igual por las tres ramas y cuando pasa por la resistencia r La caída de potencial a través de estas resistencias es igual y, por lo tanto, el potencial en los puntos C y D debería ser el mismo, ¿no es así?

Entonces, ¿por qué no es así? ¿Por qué el potencial de $C$ y $C_1$ mismo en su lugar (aunque la corriente tenga que pasar por una resistencia "extra" $\frac r2$ en una de las ramas)?

Sé que estoy equivocado porque estoy obteniendo resultados absurdos de mi razonamiento.

EDITAR: En esta imagen todas las resistencias son del mismo valor, ¿por qué circula igual corriente por las tres ramas que parten de A? ¿Cómo decidimos aquí si los puntos B, B' y D tienen el mismo potencial?

Contrasta con esta imagen (de nuevo todas las resistencias son iguales):

¿Por qué las corrientes que pasan por las tres ramas procedentes de A no tienen el mismo valor en este caso? (La única diferencia en este circuito es que los puntos A y B se encuentran en la misma arista del "cubo").

Answer 1

Supongamos que la corriente fluye desde el punto A; entonces fluye una corriente igual por las tres ramas

Esta es una suposición incorrecta.

La corriente fluye a través de las resistencias según la ley de Ohm, $V=IR$ . Por lo tanto, si el potencial en G y D no es igual al potencial en C, la corriente a través de estas tres ramas no será igual.

Answer 2

Así que está proponiendo que el actual $I$ que viene de arriba se divide en tres segmentos $I/3$ que fluye hacia estos otros tres nodos.

Permítanme llamar a la caída de tensión de $A$ a $C$ alguna cantidad $u.$

Si también tuvieras $V_D = V_C = V_A - u$ entonces no fluiría ninguna corriente a lo largo de esa resistencia entre $D$ y $C$ en el centro, ya que ambos están a la misma tensión. Por las leyes de Kirchoff, entonces, la corriente que entra en $D$ tendría que fluir a través de la resistencia hacia $E$ que por $V=IR$ fuerzas $V_F = V_E = V_A - 2u.$ Ahora la gota de $u$ entre $C$ y $E, F$ debe conducir una corriente $I/3$ a cada uno de $E$ y $F$ . Esa corriente debe ser compensada por las leyes de Kirchoff, pero sólo hay un lugar de donde puede venir ahora -- hemos declarado la corriente entre $C$ y $A, D, E, F, G$ por lo que debe ser una corriente inversa que viene de $B$ .

Calculemos ahora la tensión de $B$ . Vemos que hay dos cálculos que deben ser ambos verdaderos. Por un lado, $V_B = V_C + u = V_A$ de la corriente de retroceso; por otro lado, $V_B = V_E - 2u = V_A - 4u.$ Así que estos dos están de acuerdo, pero sólo cuando $u=0$ y $V_B = V_A$ . Es un realmente extraño que dice que es imposible que haya un sesgo de voltaje a través de este circuito en absoluto.

Así que, a veces, las matemáticas nos empujan como físicos. Lo que ha ocurrido aquí es que hemos pedido una solución en la que una corriente uniforme $I$ entra en cada uno de esos tres segmentos, y las matemáticas nos han empujado de manera gloriosa, diciendo "En realidad, sí Sé exactamente cómo hacerlo y satisfacer todas las demás ecuaciones: sólo hay que poner $I=0$ poniendo todo al mismo voltaje". Y tu reacción debería ser "Espera, ¿qué?" -- pero las ecuaciones te están diciendo exactamente lo que pusiste, y te toca darte cuenta de que tu problema es GIGO -- "garbage in, garbage out". Le dijiste una suposición que no era totalmente general y las ecuaciones te limitaron al único caso en el que se mantiene. No hay ninguna razón de simetría para que la corriente sea la misma de $A$ a $C$ como lo es de $A$ a $D$ .

El hecho de que $V_{C_1} = V_{C_2}$ se produce por una simetría de reflexión izquierda-derecha; del mismo modo, el hecho de que $V_C$ iguala el lote es porque todos son iguales a $\frac12 V_A + \frac12 V_B$ por simetría de reflexión arriba-abajo; uno imagina que debe ser algún tipo de media proporcional $p V_A + (1-p) V_B$ y al reflexionar se encuentra que $p = 1-p$ y por lo tanto que $2p = 1$ para que $p = 1/2.$