Encontrar un ejemplo de número p-ádico no racional

Question

Sabemos que todo número racional puede escribirse como $p$ -Entero radical con expansión $\sum\limits_{n=-m}^\infty a_n p^n$ , donde $a_n\in\{0,\dots,p-1\}$ y $m\in\mathbb{N}$ por lo que existe una inyección $\mathbb{Q} \hookrightarrow \mathbb{Q}_p$ .

Pero, ¿cómo puedo demostrar que $\mathbb{Q}_p$ es más grande? ¿Cómo puedo encontrar un ejemplo de $p$ -¿número radical que no es racional?

He oído $p$ -números arcaicos y pares $p$ -siendo los enteros adálicos incontables, ¿es fácil la prueba?

Answer 1

SUGERENCIA: Un número racional tiene una periodicidad $p$ -expansión de los radicales. Así, un ejemplo sería $$\sum_{n\ge 0} p^{n^2}$$

Answer 2

Tome un primo $p>2$ y $m$ un número entero con $m\equiv1\pmod p$ . Entonces $\sqrt m\in\Bbb Z_p$ .

Para $p=2$ , si $m\equiv1\pmod8$ entonces $\sqrt m\in\Bbb Z_2$ .

Finalmente, $\Bbb Z_p$ contiene todos los $p-1$ de la $(p-1)$ -Raíces de la unidad. No es interesante para $p=2$ y $p=3$ Pero es muy interesante para los objetivos más grandes.

Answer 3

En primer lugar, es todo entero (no todo racional) el que se puede escribir como lo has presentado como una secuencia $a_n\in\{0,\ldots, p-1\}$ . El número $1/p$ no puede representarse así.

Para responder a su pregunta sobre la cardinalidad, hay al menos dos argumentos que $\mathbb Z_p$ es incontable, y por tanto que $\mathbb Q_p$ es incontable.

De su presentación de la $p$ -adics como la serie $\sum a_n p^n$ vemos que el $\mathbb Z_p$ tiene la cardinalidad del conjunto de mapas $\mathbb N^+\rightarrow \{0,\ldots, p-1\}$ (es decir, $n\mapsto a_n$ ) y, por tanto, incontable.

Otro argumento es partir del hecho de que $\mathbb Z_p$ es infinito y (Hausdorff) compacto, por ejemplo, porque $\mathbb Z_p= \lim \mathbb Z/p^{n}$ por lo que es un conjunto cerrado de un conjunto compacto, por lo tanto compacto (e infinito). Por el teorema de Baire, en un espacio compacto de Hausdorff, la unión contable de conjuntos cerrados no densos no puede contener un conjunto abierto no vacío. En particular, un conjunto contable infinito no puede ser (Hausdorff y) compacto.