¿Qué es? $\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac1{a_i}}$ si $a_n=(2^n+3^n)^\frac{1}{n}$ ?

Question

Dejemos que $\displaystyle a_n=(2^n+3^n)^\frac{1}{n}$ . Calcula el límite $$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_i}}$$

Por el teorema de squeeze, el límite de $a_n$ es $3$ . Además, la secuencia $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_i}$ es estrictamente monótona y diverge al infinito ya que el límite de $n^{th}$ término de la serie $\displaystyle \sum_i\dfrac{1}{a_i}$ no es $0$ de hecho $1/3$ . Por lo tanto, por el teorema de Cesaro Stolz para $\cdot/\infty$ caso, $$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_i}}=3.$$

¿Es correcto mi razonamiento? ¿Hay maneras más fáciles de resolver esto?

Answer 1

$a_n = 3\Big(1+(\frac23)^n\Big)^{1/n}=3\exp\Big(\frac1n\ln(1+(2/3)^n)\Big)\xrightarrow{n\rightarrow\infty}3$ . El resto sigue de las sumas de Cesaro: $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1n\sum^n_{k=1}\frac{1}{a_k}=\frac{1}{3}$