Extensión totalmente ramificada del campo global en términos del caso del campo local

Question

Dejemos que $K$ sea un campo numérico de clase número $1$ (en otras palabras, es un anillo de enteros $O_K$ es PID. Sea $p$ sea un ideal primo no nulo de $O_K$ .

$L/K$ es una extensión con $n=[L:K]$ decimos que $L$ está totalmente ramificado en $p$ si $p\mathcal{O}_L=q^n$ para algún primo $q$ de $L$ .

Por otro lado, $L_p/K_p$ es totálmente ramificado si $L$ y $K$ tienen el mismo campo de residuos.

Entonces, ¿cuál es la relación entre ' $L/K$ está totalmente ramificado en $p$ ' y ' $L_p/K_p$ está totalmente ramificado como campo local' ?

Creo que esto último no implica lo primero en general, pero si añado alguna condición (como $[L:K][L_p:K_p]$ ), ¿no podemos decir algo así como que lo segundo implica lo primero? Gracias por su ayuda.

Answer 1

Nada de lo que describes depende del número de clase. La situación general es la siguiente (véase, por ejemplo, Milne's Teoría algebraica de los números , Thm. 3.34; Neukirch's Teoría algebraica de los números Prop. I.8.2; o la de Serre Campos locales Prop. I.10).

Dejemos que $A$ sea un dominio Dedekind con campo de fracciones $K$ , dejemos que $L$ sea una extensión separable finita de $K$ con $n = [L : K]$ y que $B$ sea el cierre integral de $A$ en $L$ . Entonces $B$ es un dominio Dedekind. Para cada primo $P$ de $A$ y cada primo $Q$ de $B$ dividiendo $PB$ , dejemos que $e_Q$ sea el índice de ramificación, es decir, el mayor número entero tal que $Q^{e_Q}$ divide $PB$ y que $f_Q = [B/Q : A/P]$ sea el grado de los residuos (también llamado grado de inercia). Entonces $$n = \sum_{Q \mid P} e_Q f_Q.$$ En particular, las dos nociones siguientes de "totalmente ramificado en $P$ "son equivalentes:

• $PB = Q^n$ para un primer $Q$ de $B$ .
• Hay un único primo $Q$ de $B$ dividiendo $PB$ y el campo de residuos $B/Q$ es una extensión de grado 1 de $A/P$ (es decir, los campos de residuos son canónicamente isomorfos).

En el caso de una extensión de campos locales, sólo hay un primo en total, por lo que la parte de unicidad de la segunda condición es automática.