Expectativa y Varianza de la I de Moran bajo la Nula

Question

Moran's I es una estadística utilizada para medir la autocorrelación espacial. Para un conjunto de $N$ unidades espaciales donde se obtienen las mediciones $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_N)^T$ y una matriz de pesos entre las unidades espaciales $W =[W_{i,j}]_{i,j=1}^{N}$ La I de Moran se define como

\begin{align} I &= \frac{N}{w} \frac {\sum_i \sum_j W_{ij}(x_i-\bar x) (x_j-\bar x)} {\sum_i (x_i-\bar x)^2} &= \frac{N}{\mathbf{1}^T W \mathbf{1}} \frac{(\mathbf{x} - \bar {x} \mathbf{1})^T W(\mathbf{x} - \bar {x} \mathbf{1})}{\| \mathbf{x} - \bar {x} \mathbf{1}\|^2} \end{align}

donde $\mathbf{I}$ es el vector de todos de longitud $N$ , $\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}x_i$ y $w = \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N W_{i,j}$ .

Bajo la hipótesis nula, el artículo de la wikipedia afirma que, $$\mathbb{E}[I]=-\frac{1}{N-1}.$$

Sin embargo, no parece que pueda demostrar esto (ni la expresión de la varianza que se afirma en la página de la wiki). El modelo nulo exacto asumido para probar la expectativa y la varianza no está claro para mí.

Me preguntaba si había alguna documentación sobre la derivación de la expectativa y la varianza de la I de Moran bajo el nulo (no parece haber derivación al buscar en Google).

Answer 1

Parece que el modelo nulo sobre el que se toma la expectativa hace que esto se demuestre fácilmente. El modelo nulo es que uno escoge una permutación aleatoria $\pi$ del conjunto de todas las permutaciones uniformemente al azar y el modelo nulo es

$$\mathbb{E}_{\pi} [I] = \frac{N}{w} \frac {\sum_i \sum_j W_{ij}(({\pi x})_i-\bar {\pi x}) (({\pi x})_j-\bar {\pi x})} {\sum_i (({\pi x})_i-\bar {\pi x})^2}$$

Tenemos que $$\bar {\pi x} = \bar {x},$$ $$\sum_i (({\pi x})_i-\bar {\pi x})^2 = \sum_i (x_i-\bar x)^2$$

Además, $$\begin{eqnarray} \mathbb{E}_{\pi}[(({\pi x})_i-\bar {\pi x}) (({\pi x})_j-\bar {\pi x})] &= \mathbb{E}_{\pi}[(({\pi x})_i-\bar {x}) (({\pi x})_j-\bar {x})],\\ &= \frac{1}{N(N-1)} \sum_{i \ne j} (x_i - \bar {x})(x_j - \bar {x}),\\ &= \frac{1}{N(N-1)} [ (\sum_r x_r - \bar {x})^2 - \sum_r (x_r - \bar {x})^2 ],\\ &= \frac{-\sum_r (x_r - \bar {x})^2}{N(N-1)} \end{eqnarray}$$

Así, $$\begin{eqnarray} \mathbb{E}_{\pi} [I] &= \frac{N}{w} \frac {(\sum_i \sum_j W_{ij})(\frac{-\sum_r (x_r - \bar {x})^2}{N(N-1)})} {\sum_i (x_i-\bar x)^2},\\ &= \frac{-1}{N-1}. \end{eqnarray}$$