¿A qué otra cosa equivale la teoría de Seiberg-Witten?

Question

En la topología de baja dimensión se han definido un montón de invariantes, y la teoría de Seiberg-Witten parece hacer su aparición en [muchos de ellos]:
1) Homología de Heegaard Floer \= homología SW Floer (Kutluhan, Lee, Taubes)
2) Homología de contacto integrada \= homología SW Floer (Taubes)
3) Invariante de Gromov-Witten \= 4-dimensional SW-invariante (Taubes)
4) Torsión de Turaev \= invariante de SW tridimensional (Turaev)
5) Torsión Milnor (por lo tanto Invariante de Alexander ) = invariante SW tridimensional (Meng, Taubes)
6) Recuento de superficie estándar de Donaldson-Smith \= 4-dimensional SW-invariante (Usher)
7) Invariante de Casson (por lo tanto integral Theta divisor ) = invariante SW tridimensional (Lim)
8) Invariante de Poincare \= invariante de SW para superficies algebraicas (Okonek, et al.)

Conjeturado:
8) Invariante de Heegaard Floer cerrado de 4 manificios \= invariante de SW (Ozsvath, Szabo)
*Analogía de (1) anterior en dimensión 4
9) Invariante de coincidencia lagrangiana \= invariante de SW (Perutz)
*Análogo de (6) anterior para las fibraciones de Lefschetz rotas
10) Recuento de Gromov-Witten casi-simpléctico \= invariante de SW (Taubes)
*Análogo a (4) para las variedades casi-simplécticas, contando las curvas holomorfas en el complemento de los círculos degenerados de la forma casi-simpléctica - pero este invariante no ha sido definido todavía

¿Debe detenerse ahí? ¿Existen construcciones con las que la Teoría de Seiberg-Witten podría tener un vínculo?

Answer 1

Hay un categorización conjetural del polinomio HOMFLY que la propiedad conjeturada de que recupera la homología Floer del nudo (que es el análogo de Heegaard Floer para nudos). Tal vez una vez que haya versiones categorizadas de los invariantes de Reshetikhin-Turaev y sus generalizaciones, también puede haber una conexión de estos invariantes con la homología de Heegaard Floer.

También hay un importante conjetura de Witten que está motivado por ciertas dualidades de la teoría de galgas que relacionan los invariantes de Seiberg-Witten y Donaldson de los 4 manifolds. Feehan y Leness solían trabajar mucho en esto (por ejemplo Una fórmula de cobordismo SO(3)-monopolar que relaciona los invariantes de Donaldson y Seiberg-Witten publicado como https://doi.org/10.1090/memo/1226 ), y algunos de sus avances parciales se utilizaron, por ejemplo, en el trabajo de Kronheimer-Mrowka resolviendo la Propiedad (P).

Answer 2

Homología de Khovanov probablemente podría encajar en una de las dos categorías (aunque no tengo suficiente experiencia para juzgar/adivinar si pertenece a la categoría "SW lo hace todo" o a la de "SW no puede hacerlo").

A primera vista, los dos objetos parecen bastante diferentes: La homología de Khovanov es una teoría para nudos y enlaces en $S^3$ (y los cobordismos entre ellos), que categoriza el polinomio de Jones, detecta el nudo . Se puede definir combinatoriamente en términos de diagramas de nudos, pero creo que el definición original tenía un sabor a teoría de las categorías y a teoría de la representación. Sin embargo, Witten ha propuesto recientemente una gauge-theoretic acercarse a a ella, así que tal vez hay una conexión profunda después de todo.

Además, se sabe desde hace tiempo que la homología de Khovanov y la homología de Heegaard Floer son relacionado . Tome un nudo $K\subset S^3$ : hay una secuencia espectral, cuya $E_2$ -se define en términos de (una variante adecuada de) $KhH(K)$ que converge a $\widehat{HF}(\Sigma(K))$ la homología de Floer de la doble cubierta de $S^3$ , ramificado sobre $K$ .