Me pregunto cómo evaluar la siguiente suma:
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n^4+n^2+1)n!}.$$
En wolfram alpha encuentro que es igual a $e/2$ .
He utilizado el método de los residuos pero no lo he conseguido y además utilizar la función digamma me sigue costando, mi problema es tratar el $n!$ .
Podemos reescribir el prefactor como $$\frac{1}{n^4+n^2+1}=\frac{1}{(n^2-n+1)(n^2+n+1)}=a_{n+1}-na_n+\frac12,$$ con $\displaystyle a_n=\frac{n}{2(n^2-n+1)}$ . Ahora es fácil entender que $a_n$ 's dan una suma que se telescopia a $0$ , por lo que nos quedamos con $$\frac12\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=\frac e2.$$
Añadido a petición de OP : $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-na_n+a_{n+1}}{n!}=-\frac{0\cdot a_0}{0!}+{\color{red}{\frac{a_{1}}{0!}-\frac{1\cdot a_1}{1!}}}+{\color{blue}{\frac{a_2}{1!}-\frac{2\cdot a_2}{2!}}}+{\color{magenta}{\frac{a_3}{2!}-\frac{3\cdot a_3}{3!}}}+\frac{a_4}{3!}+\ldots=0.$$
@comienza a usar el color púrpura, ¿podría mostrarme un poco cómo a_n dar una suma que se telescopia a 0, lo he comprobado pero no funciona?
@Empezar a usar el color púrpura , he comprobado a mirar el telescopio de a_n a 0 pero no funciona y por favor compruebe : wolframalpha.com/input/?i=+ \sum %28 \frac {n}{%28n%C2%B2-n%2B1%29n!}+%2Cn%3D+0+to+infty+
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Intentaría utilizar una descomposición parcial de la fracción, seguida de la sustitución de $(n-n_i)^{-1}=-\int_0^{\infty} dt e^{-(n-n_i)t}$ , donde $n_i$ es una raíz del polinomio en el denoinador. La suma se vuelve casi trivial y la integral resultante no parece deshacer...
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Busco usar la expansión taylor de \pi cot( \piz ) para hacer la transformación utilizando el método de resudado pero ¿¡qué pasa con n! ?