¿Toda matriz bistocástica $A$ tienen una matriz unitaria $U$ s.t. $a_{ij} = |u_{ij}|^2$ ?

Question

La matriz bistocrática es una matriz cuadrada formada por reales no negativos, siempre que la suma de los elementos de cualquier fila o columna sea igual a 1.

La matriz unitaria es una matriz cuadrada con entradas complejas s.t. $UU^*=E$

Se sabe que si se toma una matriz unitaria y se toma el módulo al cuadrado de cada entrada se obtiene una bistocástica. ¿Es cierto lo contrario?

¿Toda matriz bistocástica $A$ tienen una matriz unitaria $U$ s.t. $a_{ij} = |u_{ij}|^2$ ?

En caso afirmativo, ¿cuál es la respuesta si restringimos el conjunto de matrices a las reales ortogonales?

Intenté escribir todas las ecuaciones $U$ debe satisfacer en el caso bidimensional. Tenemos $6$ relaciones de ortogonalidad y $4$ relaciones de módulo al cuadrado. Nótese que sólo dos relaciones de ortogonalidad no se mantienen automáticamente ya que tenemos relaciones de módulo cuadrado.

He intentado encontrar dicha matriz para la matriz $\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} $ me llevó a $\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos2\pi n / 4 + i \sin 2 \pi n /4)$ . Podemos tomar cuatro números complejos cualesquiera que formen un cuadrado. La construcción modificada funciona para cualquier matriz $\begin{pmatrix} a & 1-a \\ 1-a & a \end{pmatrix} $

Además, podemos rotar todos los números complejos y las relaciones se mantienen.

Answer 1

Cuando la matriz es $2\times2$ la respuesta es claramente afirmativa: $\pmatrix{p&1-p\\ 1-p&p}$ es el cuadrado a la entrada de la matriz real ortogonal $\pmatrix{\cos t&-\sin t\\ \sin t&\cos t}$ , donde $\cos t=\sqrt{p}$ .

Cuando la matriz doblemente estocástica es al menos $3\times3$ En general, no es ortostocástica. Consideremos por ejemplo $$ A=\pmatrix{ \frac12&\frac12&0\\ \frac12&\frac13&\frac16\\ 0&\frac16&\frac56}. $$ Si $a_{ij}=|u_{ij}|^2$ para alguna matriz unitaria $U$ entonces $u_{ij}=\sqrt{a_{ij}}\,\omega_{ij}$ para algunos $|\omega_{ij}|=1$ . Dado que las dos primeras columnas de $U$ son mutuamente ortogonales, su producto interior debe ser cero. De ello se deduce que $$ \frac12\omega_{11}\overline{\omega}_{12}+\frac{1}{\sqrt{6}}\omega_{21}\overline{\omega}_{22}=0 \ \Rightarrow\ \left|\frac{\omega_{21}\overline{\omega}_{22}}{\omega_{11}\overline{\omega}_{12}}\right|=\sqrt{\frac32}, $$ lo cual es una contradicción porque todo $\omega_{ij}$ s tienen módulos unitarios.