Esta es la continuación de otra pregunta .
Una buena interpretación de tener un $n$ -agujero de una dimensión en un espacio $X$ es que alguna imagen de la esfera $\mathbb{S}^n$ en este espacio dado por un mapeo $f: \mathbb{S}^n \rightarrow X$ no puede reducirse a un punto. El asunto de "encogerse hasta un punto" se expresa mejor siendo $f$ homotópico a algún mapa constante. A continuación, los grupos de homotopía $\pi_n$ puede definirse como las clases de homotopía de los mapas que preservan el punto base de $\mathbb{S}^n$ a $X$ . De este modo, se podría argumentar que los grupos de homotopía $\pi_n$ debería captar mejor los agujeros de $X$ .
Pero esto no es así. Se tiene el resultado más satisfactorio de que para $i \geq 1$ la homología $H_i (\mathbb{S}^n) $ es no trivial si $n = i$ . Pero los grupos de homotopía superiores de las esferas son muy complicados.
¿Por qué se produce esta complicación? ¿Por qué los grupos de homología son mucho mejores para capturar los agujeros que los grupos de homotopía, que son intuitivamente más adecuados, pero que en realidad no lo son? En el caso de $1$ -agujeros dimensionales, la homología $H_1$ et $\pi_1$ captura los agujeros igualmente bien; pero por supuesto en este caso el primero es la abelianización del segundo.
