$\int \frac{x^4-1}{x^2\sqrt{x^4+x^2+1}}dx$

Question

$$\int \frac{x^4-1}{x^2\sqrt{x^4+x^2+1}}\,dx$$

Mi intento,

Lo he cambiado por $\int \frac{x^2}{\sqrt{x^4+x^2+1}} \, dx-\int \frac 1 {x^2\sqrt{x^4+x^2+1}} \, dx$ pero me quedé aquí.

¿Algún método para resolver esta integral? Gracias de antemano.

Answer 1

Cada vez que veo un integrando que parece algo "simétrico" bajo $x \to x^{-1}$ , Intentaré ver si se puede reexpresar en términos de $x \pm x^{-1}$ .

Una identidad útil para recordar es $$\frac{dx}{x} = \frac{d(x+x^{-1})}{x - x^{-1}} = \frac{d(x-x^{-1})}{x + x^{-1}}$$

Este truco sí funciona para la integral que nos ocupa.

$$\begin{align} \int \frac{x^4-1}{x^2\sqrt{x^4+x^2+1}} dx &= \int \frac{x^2-x^{-2}}{\sqrt{x^2+x^{-2}+1}} \frac{dx}{x} \\ &= \int \frac{x^2-x^{-2}}{\sqrt{x^2+x^{-2}+1}} \frac{d(x-x^{-1})}{x+x^{-1}} \\ &= \int \frac{(x-x^{-1}) \, d(x - x^{-1})}{\sqrt{(x-x^{-1})^2+3}} \\ &= \int d\sqrt{(x-x^{-1})^2+3} \\ &= \sqrt{x^2+x^{-2}+1} + \text{const.} \end{align}$$

Answer 2

Para $x>0,$

$$I=\int \frac{x^4-1}{x^2\sqrt{x^4+x^2+1}}\,dx=\int\dfrac{x^3\left(2x-\dfrac2{x^3}\right)\ dx}{2x^3\sqrt{x^2+\dfrac1{x^2}+1}}$$

Set $x^2+\dfrac1{x^2}+1=y$