Rango de la matriz a submatriz $B$ de $A$

Question

Pregunta:

Una submatriz $B$ compuesto por "s" filas de $A$ se selecciona entre una matriz n-cuadrada $A$ de rango $r_{A}$ . demostrar que el rango de $B$ es igual o mayor que $r_{A}+s-n$ .

Mis pensamientos:

Empiezo con un caso fácil, dice $A=I_4$ . Entonces, seleccionando 2 primeras filas de $A$ . Obtenemos una matriz $B$ : $$\begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0&1 &0 &0 \end{pmatrix}$$ Por lo tanto, el rango de $B=4+2-4=2$ . Al menos, sé que la afirmación es cierta para esta situación trivial. Pero, ¿alguien puede ayudarme a averiguar la situación general del problema? Gracias de antemano.

Answer 1

Una pista: Tenga en cuenta lo siguiente: $r_A\leq n$ et $r_B\leq s$ . Teniendo esto en cuenta, en lugar de intentar demostrar que $r_B\ge r_A+s-n$ intentar demostrar una desigualdad equivalente que tenga $r_B, r_A$ un lado y $n,s$ por el otro.

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Como se ha señalado más abajo, mi pista tiene problemas y no veo la forma de salvarla. No puedo borrar esta respuesta, por lo que, para la auto-contención, estoy copiando León Sot 's respuesta :

Reordenar para obtener $$r_A-r_B\leq n-s. $$ Así que la diferencia de rango es menor que la diferencia de filas. Hay $r_A-r_B$ filas que suman el rango de $A$ pero no al rango de $B$ . Estas filas no pueden estar en el $s$ filas seleccionadas ya que entonces esto aumentaría el rango de $B$ . Por lo tanto, son uno de los $n-s$ filas que no están en $B$ . La desigualdad es la siguiente.

Answer 2

Aquí $A$ es $n\times n$ matriz y $r_A$ sea el rango de $A$ . Ahora tenemos que eliminar $n-s$ filas de $n$ filas. Sea $C=\{A_{i_k*}:1\leq k\leq r_A\} $ sea el conjunto de bases del espacio de filas de A , es decir $\mathcal{R}(A)$ , donde $A_{i_k*}$ denotan el $i_k\textit{-th}$ fila de la matriz A.

Ahora elija cualquier fila $A_{j_m*}$ habría dos posibilidades, es decir, o bien $A_{j_m*}\in C$ o $A_{j_m*}\not\in C$ Si $A_{j_m*}\in C$ entonces la nueva matriz es de orden $(n-1)\times n$ tiene rango $r_A-1$ mientras que en el otro caso $r_B=r_A$ ya que $A_{j_m*}\in span(C)$ .

Por lo tanto, si queremos el mínimo de $r_B$ entonces debería ser el peor caso en el que todos los $n-s$ las filas pertenecen a $C$ . Por lo tanto, $r_B\geq r_A-(n-s)$ .