Me gustaría resolver la siguiente integral:
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(1-jt)^{N-1} (1-jat)} e^{-j t x} dt $$
Donde $j = \sqrt{-1}$ , $N \in \mathbb{Z}_{++}$ , $a \in \mathbb{R}_{++}$ et $a \neq 1$ .
Así que parece que tendré que usar el cálculo de residuos aquí. Creo que hay singularidades en:
$$ t = -j \quad \text{and} \quad t = -\frac{1}{a} j$$
Sin embargo, no estoy seguro de dónde dibujar mi contorno, ya que como $a \rightarrow 0$ la singularidad se mueve hacia $-j \infty$ .
¿Alguien puede aportar una solución o un enfoque?
Gracias
Respuesta parcial:
Primero consideraremos el caso $N=1$ . En este caso, haciendo el cambio de signo como señaló Zachary, tenemos la integral:
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(1+jat)} e^{j t x} dt $$
Si hacemos un arco en el medio plano superior, creamos la integral de contorno:
$$ \int_{\Gamma} \frac{1}{(1+jaz)} e^{j x z} dz = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(1+jaz)} e^{jxz} dz + \int_{C_{R}} \frac{1}{(1+jaz)} e^{j x z} dz = j 2 \pi Res \Big\{ z = \frac{j}{a} \Big \} $$
Primero evaluamos la integral en el arco. Dejando que $z = r e^{j \theta}$ obtenemos:
$$ | \int_{C_{R}} \frac{1}{(1+jaz)} e^{j x z} dz | \leq \int_{C_{R}} | \frac{1}{(1+jaz)} e^{j x z} dz| \leq \int_{C_{R}} \frac{1}{|1+jaz|} |e^{j x z}| |dz| \leq \int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{|1+jaR e^{j \theta}|} R d \theta \leq \int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{{a^{2}R^{2} e^{j 2\theta}}} R^{2} d \theta \leq \frac{1}{a^{2}} \int_{0}^{2 \pi} e^{-j 2 \theta} d\theta = 0$$
Esto nos deja con:
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(1+jaz)} e^{jxz} dz = j 2 \pi Res \Big\{ z = \frac{j}{a} \Big \} $$
El residuo puede calcularse mediante:
$$ Res \Big\{ z = \frac{j}{a} \Big \} = \frac{e^{j x z}}{\frac{d}{dz} (1+jaz)} \Big |_{z=\frac{j}{a}} = \frac{e^{-\frac{x}{a}}}{ja} $$
Así:
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(1+jaz)} e^{jxz} dz = 2 \pi \frac{1}{a} e^{-\frac{x}{a}} $$
Lo que concuerda con la respuesta de Zachary.
Ahora para el general $N$ .
Tenemos el contorno:
$$ \int_{\Gamma} \frac{1}{((1+jz)^{N-1}) (1+jaz)} e^{j x z} dz = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(1+jz)^{N-1} (1+jaz)} e^{jxz} dz + \int_{C_{R}} \frac{1}{(1+jz)^{N-1}(1+jaz)} e^{j x z} dz = j 2 \pi \big( Res \Big\{ z = \frac{j}{a} \Big \} + Res \Big\{ z = {j} \Big \} \big) $$
Podemos evaluar el contorno en el arco, a través de:
$$ | \int_{C_{R}} \frac{1}{(1+jz)^{N-1} (1+jaz)} e^{j x z} dz | \leq \int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{|(1+jR e^{j \theta})^{N-1} (1+jaR e^{j \theta})|} R d\theta \leq 2\pi \frac{1}{(1+R^{2})^{N-1} (1+a^{2}R^{2})|} R^{2} \rightarrow 0 $$
Así:
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(1+jz)^{N-1} (1+jaz)} e^{jxz} dz = j 2 \pi \big( Res \Big\{ z = \frac{j}{a} \Big \} + Res \Big\{ z = {j} \Big \} \big) $$
Ahora queremos calcular $Res \Big\{ z = \frac{j}{a} \Big \}$ . Utilizamos:
$$ Res \Big\{ z = \frac{j}{a} \Big \} = \underset{z \rightarrow z_{0}}{lim} (z-z_{0}) f(z)$$
Dejamos que $f(z) = \frac{1}{(1+jz)^{N-1} (1+jaz)} e^{jxz}$ . Sin embargo, primero tenemos que reescribirlo. Nos damos cuenta de que:
$$ (1+jaz) = ja(z-\frac{j}{a})$$
Así:
$$ \underset{z \rightarrow z_{0}}{lim} (z-z_{0}) f(z) = \underset{z \rightarrow z_{0}}{lim} (z-z_{0}) (z-\frac{j}{a}) \frac{1}{ja(1+jz)^{N-1} (z-\frac{j}{a})} e^{jxz} = \frac{e^{-\frac{x}{a}}}{ja (1-\frac{1}{a})^{N-1}}$$
Esto coincide con el resultado del caso especial de $N=1$ .
Ahora queremos calcular $Res \Big\{ z = \frac{j}{a} \Big \}$ . Utilizamos:
$$ Res \Big\{ z = j \Big \} = \frac{1}{(N-2)!} \underset{z \rightarrow z_{0}}{lim} \frac{d^{N-2}}{z^{N-2}}(z-z_{0})^{N-1} f(z)$$
Para empezar, volvemos a escribir nuestro $f(z)$ notando eso:
$$ (1 + jz)^{N-1} = j^{N-1}(z-j)^{N-1} $$
Por lo tanto, nuestro problema se convierte en encontrar la siguiente derivada y evaluarla en $z=j$
$$\frac{1}{(N-2)!} \frac{d^{N-2}}{z^{N-2}} \frac{e^{jxz}}{j^{N-1}(1+jaz)}$$
Lo que equivale a:
$$\frac{j^{1-N}}{(N-2)!} \frac{d^{N-2}}{z^{N-2}} \frac{e^{jxz}}{(1+jaz)}$$
Utilizamos la regla de Leibniz generalizada, con $f = e^{jxz}$ et $g = (1+jaz)^{-1}$ . Los derivados son:
$$ f^{(n-k)} = j^{n-k} x^{n-k} e^{jxz} $$
$$ g^{(k)} = (-1)^{k \downarrow} j^{k} a^{k} (1+jaz)^{-(k+1)} $$
Donde $(-1)^{k \downarrow} = \prod_{i=0}^{k} (i-1)$ es la función factorial descendente.
Según la regla general de Leibniz entonces, tenemos:
$$ (fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(n-k)} g^{(k)} $$
Esto nos da:
$$ (fg)^{(N-2)} = j^{N-2} \sum_{k=0}^{N-2} (-1)^{k \downarrow} \binom{N-2}{k} x^{N-2-k} \frac{a^{k} e^{jxz}}{(1+jaz)^{k+1}} $$
Así que nuestro residuo es:
$$ Res \Big\{ z = j \Big \} = \underset{z \rightarrow z_{0}}{lim} \frac{j^{1-N}}{(N-2)!} j^{N-2} \sum_{k=0}^{N-2} (-1)^{k \downarrow} \binom{N-2}{k} x^{N-2-k} \frac{a^{k} e^{jxz}}{(1+jaz)^{k+1}} $$
$$ Res \Big\{ z = j \Big \} = \frac{1}{j(N-2)!} \sum_{k=0}^{N-2} (-1)^{k \downarrow} \binom{N-2}{k} x^{N-2-k} \frac{a^{k} e^{-x}}{(1-a)^{k+1}} $$
¿Es esto correcto?
