Los divisores de cero en $\mathbb{Z}_2[X]/(X^4+X^2+1)$

Question

Tratando de encontrar los divisores de UN CERO en $\mathbb{Z}_2[X]/(X^4+X^2+1)$ .

Hasta ahora sé que esto no es un campo ya que $$x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$$ por lo tanto no es irreducible y por lo tanto no es un campo por lo que debe haber divisores cero. ¿Cómo puedo abordar esto a continuación para encontrar realmente uno?

Answer 1

El anillo en cuestión es $\mathbb Z_2[u]$ con $u^4+u^2+1=0$ .

Como habrán notado, $(u^2+u+1)(u^2-u+1)=u^4+u^2+1=0$ y así $u^2+u+1$ es un divisor cero.

Queda por demostrar que $u^2+u+1\ne0$ .