Por qué $\lim\limits_{n \to +\infty} \bigg(\dfrac{n+1}{n+2}\bigg)^n = \frac{1}{e}$ ?

Question

He intentado resolver este límite: $\lim\limits_{n \to +\infty} \bigg(\dfrac{n+1}{n+2}\bigg)^n$ .

Mi enfoque fue reescribirlo como $\lim\limits_{n \to +\infty} \bigg(\dfrac{n}{n+2} + \dfrac{1}{n+2}\bigg)^n$ y como $\dfrac{n}{n+2}$ tiende a 1 y $\dfrac{1}{n+2} \sim \dfrac{1}{n}$ como $n \to +\infty$ Me imaginé que la solución sería $e$ , como $\lim\limits_{n \to +\infty} \bigg(1+\dfrac{1}{n}\bigg)^n = e$ .

Supongo que algo he hecho mal, ya que al trazar la función me he dado cuenta de que la solución es $\dfrac{1}{e}$ .

¿Dónde está mi error?

Answer 1

Debes saber que $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \xrightarrow{n\rightarrow \infty} e$ . Así que vamos a jugar con él.

$\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^n=\left[\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^n\right]^{-1}= \left[\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n\right]^{-1}=\left[\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{(n+1)}\cdot\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{(-1)}\right]^{-1}=\left[\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{(n+1)}\right]^{-1}\cdot\left(1+\frac{1}{n+1}\right)$ .

Cambiando ahora $m=n+1$ que tenemos:

$\left[\left(1+\frac{1}{m}\right)^m\right]^{-1}\cdot\left(1+\frac{1}{m}\right)$ .

Ahora tomando límites cuando $n$ tiende a $+\infty$ , como $m=n+1$ es lo mismo que tomar los límites cuando $m$ tiende a $+\infty$ . Entonces, como $\left(1+\frac{1}{m}\right)\xrightarrow{m\rightarrow \infty}1$ :

$\left[\left(1+\frac{1}{m}\right)^m\right]^{-1}\cdot\left(1+\frac{1}{m}\right)\xrightarrow{m\rightarrow \infty} \frac{1}{e}$ .