Por qué $\lim\limits_{n \to +\infty} \bigg(\dfrac{n+1}{n+2}\bigg)^n = \frac{1}{e}$ ?

Question

He intentado resolver este límite: $\lim\limits_{n \to +\infty} \bigg(\dfrac{n+1}{n+2}\bigg)^n$ .

Mi enfoque fue reescribirlo como $\lim\limits_{n \to +\infty} \bigg(\dfrac{n}{n+2} + \dfrac{1}{n+2}\bigg)^n$ y como $\dfrac{n}{n+2}$ tiende a 1 y $\dfrac{1}{n+2} \sim \dfrac{1}{n}$ como $n \to +\infty$ Me imaginé que la solución sería $e$ , como $\lim\limits_{n \to +\infty} \bigg(1+\dfrac{1}{n}\bigg)^n = e$ .

Supongo que algo he hecho mal, ya que al trazar la función me he dado cuenta de que la solución es $\dfrac{1}{e}$ .

¿Dónde está mi error?

Answer 1

El error radica en suponer que, como $\lim_{n\to\infty}\frac n{n+2}=1$ y como $\frac1{n+2}\sim\frac1n$ entonces $\lim_{n\to\infty}\left(\frac n{n+2}+\frac1{n+2}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n$ . Para ver por qué no funciona, considere el límite $$\lim_{n\to\infty}n\left(\frac n{n+1}-1\right).$$ Es igual a $1$ ¡¿Cierto?! Sin embargo, según su argumento, ya que $\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}n=1$ debe ser igual a $$\lim_{n\to\infty}n(1-1)=0.$$

Answer 2

$$ \lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{n+1}{n+2})^n=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{(\frac{n+2}{n+1})^n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1+\frac{1}{1+n}}{(1+\frac{1}{1+n})^{n+1}}=\frac{1}{e} $$

Answer 3

CONSEJOS

• $\dfrac{n+2}{n+1}=\dfrac{(n+1)+1}{n+1}=1+\dfrac{1}{n+1}$

ou

• $\dfrac{n+1}{n+2}=\dfrac{(n+2)-1}{n+2}=1+\dfrac{1}{-(n+2)}$

Y recuerda que $(1+1/a_n)^{a_n}\to e$ siempre que $a_n\to0$ .

Answer 4

Una pista:

$\dfrac{(1+1/n)^n}{(1+2/n)^n}.$

Límite del numerador y

denominador $(\not=0)$ existe.

Utilizar: $\lim_{n \rightarrow \infty} (1+x/n)^n=e^x$ , $x$ real.

Answer 5

Pruebe a sustituir la variable $n$ con $x=\frac{1}{n}$ : $$\lim_{n \to +\infty} (\frac{n+1}{n+2})^n = \lim_{x \to 0} (\frac{1+x}{1+2x})^\frac{1}{x} = exp(\lim_{x \to 0}\frac{1}{x} (\frac{1+x}{1+2x}-1))=exp(\lim_{x \to 0}\frac{-1}{1+2x})=exp(-1)=\frac{1}{e}$$