Transformadas de Laplace y soluciones IVP

Question

Al derivar la transformada de Laplace, observamos que la transformada de Laplace de una función sólo está definida para $x\ge 0$ (a menos que en el caso bilateral se establezca $f(x)=0$ para $x \lt 0$ ). Sin embargo, a menudo resolvemos problemas de valor inicial sobre todos los reales con transformadas de Laplace. ¿Cómo podemos estar seguros de que la transformada de Laplace da una solución para todo x en este caso cuando originalmente asumimos que nuestra solución era igual a $0$ cuando $x \lt0$ ?

Answer 1

Básicamente, la transformada de Laplace es unilateral pero la ubicación de $t=0$ en la gráfica de la función $f$ puede estar en cualquier lugar que desee. Así, por ejemplo, si quiero resolver una ecuación en $[t_0,\infty)$ Puedo aplicar la transformada de Laplace en la forma $\int_{t_0}^\infty e^{-s(t-t_0)} f(t) dt = \int_0^\infty e^{-s u} f(u+t_0) du$ y luego obtengo una solución para $u \in [0,\infty)$ es decir $t \in [t_0,\infty)$ . Que $t_0$ puede ser tan negativo como quiera.

Answer 2

No entiendo la pregunta. Es una INICIAL problema de valor, por lo que el tiempo comienza en algún punto, que podemos cambiar a $0$ si queremos.