Encontrar una función analítica $f:\mathbb{C}\setminus\{-1\}\rightarrow \mathbb{C}$ tal que $f'(z)=\frac{z}{z+1}$ o demostrar que no existe tal función.

Question

Tengo la impresión de que la función no existe. Pero no sé cómo demostrarlo. Me han sugerido que mire los siguientes teoremas:

1): Si f es entera, entonces f es en todas partes la derivada de una función analítica. Es decir, existe una F entera tal que $F'(z)=f(z)$ $\forall z$ .

2): Si f es entera y si C es una curva cerrada (suave), $\int_C f(z) dz=0$ .

Espero que pueda ayudar.

Answer 1

Una pista. Calcula lo siguiente: $$ \int_{|z+1|=1}\frac{z}{z+1}\,dz. $$

Answer 2

Sugerencia: Formalmente, se tiene $f(z) = \int \frac{z}{z+1} dz = \int ( 1 - \frac{1}{z+1} ) dz = z - \log (1+z) + \mathcal{C}$ Así que el problema es con $\log(1+z)$ siendo multivalente en $\mathbb{C}\backslash\{-1\}$ . Así es como se puede demostrar que no existe $f$ en $\mathbb{C} \backslash\{0\}$ tal que $\, f'(z)= \frac{1}{z}$ . Supongamos que tal $f$ existe. Entonces la función $\frac{\exp f(z)}{z}$ tiene derivada cero en $\mathbb{C} \backslash\{0\}$ y así $\frac{\exp(f(z))}{z} \equiv $ const , y así $\frac{\exp(f(-z))}{\exp(f(z)} =\frac{-z}{z}\equiv -1$ y por la continuidad y la conectividad, $\, f(-z) - f(z) \equiv (2k+1) \, \pi i$ para algún número entero $k$ . Ahora, conecte $-z$ en lugar de $z$ $\ldots$