¿Es mi prueba de $x^n-y^n = \ldots$ ¿correcto?

Question

Estoy resolviendo problemas del primer capítulo del libro de cálculo de Spivak. Básicamente Spivak quiere que demuestre esto:

$$x^n-y^n = (x-y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + \ldots + xy^{n-2} + y^{n-1})$$

Pregunta 1: ¿Es correcta mi prueba?

Pregunta 2: ¿Cómo hacerla perfecta? ¿Algún consejo?

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Mi prueba:

Supongo que Spivak quiere decir: $$ x^n-y^n = (x-y)\left(\sum_{i=1}^{i=n} x^{n-i}y^{i-1}\right) $$

Déjalo: $$ f(x,y,n) = \left(\sum_{i=1}^{i=n} x^{n-i}y^{i-1}\right) $$

Entonces podemos decir (¿es esta subprueba perfecta?): $$\begin{split} x^{n+1}-y^{n+1} &= (x-y)\left(\sum_{i=1}^{i=n+1} x^{(n+1)-i}y^{i-1}\right)\\ &= (x-y)\left( \begin{split} &x^{(n+1)-(n+1)} y^{(n+1)-1}\\ &+ \sum_{i=1}^{i=n} x^{(n+1)-i}y^{i-1} \end{split} \right)\\ &= (x-y)\left( x^{0} y^{n} + \sum_{i=1}^{i=n} x^{(n+1)-i}y^{i-1} \right)\\ &= (x-y)\left( y^{n} + \sum_{i=1}^{i=n} x^{(n+1)-i}y^{i-1} \right)\\ &= (x-y)\left( y^{n} + x\sum_{i=1}^{i=n} x^{n-i}y^{i-1} \right)\\ &= (x-y)\left( y^{n} + xf(x,y,n) \right)\\ \end{split}$$

También podemos reescribir lo que Spivak quiere en: $$ x^n-y^n = (x-y)\Big(y^{n-1} + xf(x,y,n-1)\Big) $$

Ya hemos demostrado en [spivak_calc_probs.1.1.2]: $$\begin{split} x^2-y^2 &= (x-y)(x+y)\\ &= (x-y)\left(\sum_{i=1}^{i=2} x^{2-i}y^{i-1}\right)\\ &= (x-y)\Big(y^{2-1} + xf(x,y,2-1)\Big)\\ \end{split}$$

Entonces, por inducción, demostramos que: $$\begin{split} x^2-y^2 &= (x-y)\Big(y^{2-1} + xf(x,y,2-1)\Big)\\ x^3-y^3 &= (x-y)\Big(y^{3-1} + xf(x,y,3-1)\Big)\\ \vdots\\ x^n-y^n &= (x-y)\Big(y^{n-1} + xf(x,y,n-1)\Big)\\ \end{split}$$

Y como $(x-y)(y^{n-1} + xf(x,y,n-1))$ es sólo una reescritura de lo que Spivak quiere, es decir $(x-y)(x^{n-1}$ $+$ $x^{n-2}y$ $+$ $\ldots$ $+$ $xy^{n-2})$ , por lo tanto, Q.E.D ya.

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prueba alternativa:

Usando el axioma distributivo: $$\begin{split} & (x-y)\left(\sum_{i=1}^{i=n} x^{n-i}y^{i-1}\right)\\ &= x\left(\sum_{i=1}^{i=n} x^{n-i}y^{i-1}\right) -y\left(\sum_{i=1}^{i=n} x^{n-i}y^{i-1}\right)\\ &= x\left(\sum_{i=1}^{i=n} x^{n-i}y^{i-1}\right) -y\left(x^{n-n}y^{n-1} + \sum_{i=1}^{i=n-1} x^{n-i}y^{i-1}\right)\\ &= x\left(\sum_{i=1}^{i=n} x^{n-i}y^{i-1}\right) -y\left(x^{0}y^{n-1} + \sum_{i=1}^{i=n-1} x^{n-i}y^{i-1}\right)\\ &= x\left(\sum_{i=1}^{i=n} x^{n-i}y^{i-1}\right) -y\left(y^{n-1} + \sum_{i=1}^{i=n-1} x^{n-i}y^{i-1}\right)\\ &= x\left(\sum_{i=1}^{i=n} x^{n-i}y^{i-1}\right) -\left(y^{n} + \sum_{i=1}^{i=n-1} x^{n-i}y^{i}\right)\\ &= x\left(x^{n-1}y^{1-1} + \sum_{i=2}^{i=n} x^{n-i}y^{i-1}\right) -\left(y^{n} + \sum_{i=1}^{i=n-1} x^{n-i}y^{i}\right)\\ &= x\left(x^{n-1}y^{0} + \sum_{i=2}^{i=n} x^{n-i}y^{i-1}\right) -\left(y^{n} + \sum_{i=1}^{i=n-1} x^{n-i}y^{i}\right)\\ &= x\left(x^{n-1} + \sum_{i=2}^{i=n} x^{n-i}y^{i-1}\right) -\left(y^{n} + \sum_{i=1}^{i=n-1} x^{n-i}y^{i}\right)\\ &= \left(x^{n} + \sum_{i=2}^{i=n} x^{n-i+1}y^{i-1}\right) -\left(y^{n} + \sum_{i=1}^{i=n-1} x^{n-i}y^{i}\right)\\ &= \left(x^{n} + \sum_{i=1}^{i=n-1} x^{n-(i+1)+1}y^{(i+1)-1}\right) -\left(y^{n} + \sum_{i=1}^{i=n-1} x^{n-i}y^{i}\right)\\ &= \left(x^{n} + \sum_{i=1}^{i=n-1} x^{n-i-1+1}y^{i+1-1}\right) -\left(y^{n} + \sum_{i=1}^{i=n-1} x^{n-i}y^{i}\right)\\ &= \left(x^{n} + \sum_{i=1}^{i=n-1} x^{n-i}y^{i}\right) -\left(y^{n} + \sum_{i=1}^{i=n-1} x^{n-i}y^{i}\right)\\ &= x^{n} + \sum_{i=1}^{i=n-1} x^{n-i}y^{i} - y^{n} - \sum_{i=1}^{i=n-1} x^{n-i}y^{i}\\ \end{split}$$

Entonces usando el axioma asociativo aditivo: $$\begin{split} & x^{n} + \sum_{i=1}^{i=n-1} x^{n-i}y^{i} - y^{n} - \sum_{i=1}^{i=n-1} x^{n-i}y^{i}\\ &= x^{n} - y^{n} + \left(\sum_{i=1}^{i=n-1} x^{n-i}y^{i} - \sum_{i=1}^{i=n-1} x^{n-i}y^{i}\right)\\ &= x^{n} - y^{n} + \left(0\right)\\ &= x^{n} - y^{n} \end{split}$$

Answer 1

Una prueba por inducción (aunque en este caso no es el enfoque más sencillo, como se señala en los comentarios) procedería como sigue:

1) Caso base - mostrar que la expansión es correcta para $n=1$ . En este caso la suma $\sum_{i=1}^{i=n} x^{n-i}y^{i-1}$ sólo tiene un término que es $x^0y^0=1$ así que esto es sencillo.

2) Supongamos que la expansión es correcta para un valor específico de $n$ , digamos que $n=k$ .

3) Encuentra una expresión que relacione el $n=k+1$ caso a la $n=k$ caso. Podrías intentarlo:

$\quad x^{k+1}-y^{k+1} = x(x^k-y^k) + (x-y)y^k$

4) Utiliza (2) para ampliar tu expresión de (3):

$\quad x^{k+1}-y^{k+1} = x(x-y)\sum_{i=1}^{i=k} x^{k-i}y^{i-1} + (x-y)y^k\\ \quad=(x-y)\left( x\sum_{i=1}^{i=k} x^{k-i}y^{i-1} + y^k\right) \\\quad =(x-y)\left(\sum_{i=1}^{i=k+1} x^{k+1-i}y^{i-1}\right)$

Así que ahora ha demostrado que si la expansión es verdadera para $n=k$ entonces también es cierto para $n=k+1$ . Junto con su caso base $n=1$ esto demuestra por inducción que la expansión es verdadera para todo $n \in \mathbb{N}$ .

Answer 2

Más sencillamente, en tu primera prueba, por brevedad deja que $S(n)$ sea la frase $(x-y)f(x,y,n)=x^n-y^n.$ Entonces, utilizando su cálculo que $f(x,y,n+1)=y^n+xf(x,y,n),$ tenemos $$S(n)\implies (x-y)f(x,y,n+1)=$$ $$=(x-y)(y^n+xf(x,y,n))=$$ $$=xy^n-y^{n+1}+(x)(( x-y)f(x,y,n))=$$ $$=xy^n-y^{n+1}+(x)(x^n-y^n)=$$ $$=x^{n+1}-y^{n+1}.$$ Es decir, tenemos $$S(n)\implies S(n+1).$$ Y $S(1)$ es cierto porque $f(x,y,1)=1.$ Así que por inducción en $n$ tenemos $S(n)$ para todos $n\in \Bbb N.$

Answer 3

$(a - 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + ... + 1) =$
$a^n + a^{n-1} + ... + a - (a^{n-1} + a^{n-2} + ... + 1) =$
$a^n - 1$

Establece a = x/y y multiplica por y $^n$ .