Cambio en los valores propios al cambiar una entrada de una matriz.

Question

¿Cómo son los valores propios de a $n\times n$ matriz con entradas enteras no negativas cambian cuando el $(n,1)$ la entrada aumenta en $1$ ?

Puede ser útil observar que la suma de los valores propios sigue siendo la misma y el producto puede cambiar.

Esta cuestión surgió en el contexto del espectro de la matriz de adyacencia de un grafo dirigido con bucles no negativos. Si el peso de la arista del vértice $n$ al vértice $1$ aumenta en uno, ¿cómo se desplazan los valores propios de la matriz de adyacencia?

Answer 1

Esta no es una respuesta completa, pero creo que puede aportar una cierta aclaración de ideas.

En primer lugar, convertiré tu pregunta en : "¿Qué ocurre con los valores propios si modifico este $(n,1)$ coeficiente (llámese $a$ ) por $da$ "(en lugar de $1$ que es adimensional).

De hecho, es un tipo de "sensibilidad al cambio" que le gustaría calificar/cuantificar.

Por eso te aconsejo que lo veas bajo la forma diferencial:

$$dq(a)=S da \ \iff \ \dfrac{dq(a)}{da}=S$$

donde $q$ es cualquier cantidad que depende de $a$ como el determinante, o los valores propios "como un todo" como vamos a ver. Así, $S$ podría llamarse la "sensibilidad" local de la cantidad $q$ .

Pongamos un ejemplo para que se entienda bien.

Considere la siguiente matriz:

$$A=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & \ \ 3\\ 0 & -1 & 1 & \ \ 3\\ \color{red}{a} & 2 & 2 & \ \ -2\end{array}\right).$$

Como $\det(A)=-12a-18$ tenemos un ejemplo de la "sensibilidad al cambio" encapsulada en el derivado $-12$ .

Dicho de otra manera, $-12$ también lo es el cofactor de entrada $a_{4,1}$ : piensa en la expansión de Laplace de $\det(A)$ con respecto a la primera columna.

Tanto con la primera como con la segunda interpretación, podemos decir que modificar $a$ por $da$ genera un cambio $-12da$ en $\det(A)$ .

Pero abordar la sensibilidad de un particular valor propio a un cambio en $a$ es más que un reto: es imposible "individualizar" los valores propios, por ejemplo, centrándose en el más grande (en valor absoluto). Son un todo.

Pero sin embargo, a nivel local, tiene sentido si no estás en un caso particular de raíces múltiples.

Por ejemplo, observe la Fig. 1 con $a$ en el eje horizontal y, para cualquier $a$ los dos, tres o cuatro puntos $(a,\lambda_k)$ . Considere el caso $-7.75 \leq a < 0.8$ donde hay cuatro raíces reales ; el local pendientes (interpretación geométrica de las derivadas) para un $a$ proporcionan una forma de entender de forma gráfica las interdependencias de las diferentes sensibilidades. Por ejemplo, alrededor de $a=0$ interpretando las pendientes, tenemos $2$ sensibilidades negativas y una positiva, siendo esta última "dos veces más fuerte"... para que la suma sea $0$ que significa "ningún cambio" : en efecto, el rastro de $A$ , que es la suma de los valores propios, permanece constante (has mencionado el papel de la traza).

¿Cómo se explica esta cifra? ¿Por qué es la unión de una línea recta y una curva que parece una curva cúbica conocida? Se debe a la siguiente factorización del polinomio característico de $A$ :

$$\lambda^4 - 3\lambda^3 - 14\lambda^2 + (3 a+47) \lambda - 12a = (\lambda-4)(\lambda^3+\lambda^2-10\lambda+(3a+7))$$

dando

• $\lambda=4$ (una constante: no es sorprendente) y

• las raíces de la ecuación de 3er grado. Y, en efecto, la forma general de la "componente sinuosa" de la Fig. 1 resulta familiar cuando se ve como una función

$$a=\tfrac13(-\lambda^3-\lambda^2+10\lambda-7).$$

Fig. 1.

Observación 1 : Las estrellas rojas son lugares de bifurcación.

Observación 2 : He desarrollado un método de representación explicado en ( Buscando referencias sobre una representación gráfica del conjunto de raíces de polinomios en función de un parámetro ).