calcular la probabilidad con ensayos de bernoulli

Question

Tengo ensayos bernoulli independientes con probabilidad de éxito $p=\dfrac{1}{4}$ . Quiero calcular la probabilidad de que la segunda y la tercera vez que tenga éxito sea a las 8 y 9 de prueba. ¿Cómo puedo escribir la probabilidad que quiero encontrar? $X_i= 1$ o $0$ ( $1$ para el éxito $0$ para el fracaso) $X_1,X_2,X_3,X_4,X_5,X_6,X_7,X_8=1,X_9=1.$ $N_1=X_1, N_2=X_1+X_2,N_3=X_1+X_2+X_3$ Así que $N_8=2,N_9=3,$ $T_1=?$ $T_2=8,T_3=9,$ $T_i:$ significa el tiempo que el tuve el i-éxito

Answer 1

Como dije en el comentario, primero se quiere tener exactamente un éxito entre los $7$ primeras pruebas. Esto da una probabilidad de distribución binomial : $$ A = Pr[\text{1 success within the first $ 7 $}] = \binom{7}{1} p^{1}(1-p)^6 $$ Luego dos éxitos consecutivos : $$ B = Pr[\text{two consecutive successes}] = p^2 $$ Finalmente tienes $A\cdot B$

Answer 2

Sea $N_k$ su cuenta de éxitos, es decir, el número de éxitos en $k$ de la prueba. Usted quiere encontrar $P(N_7=1,N_8=2,N_9=3)$ porque quieres exactamente un éxito entre las pruebas $1$ y $7$ . $$P(N_7=1,N_8=2,N_9=3)=P(N_7=1)P(N_8=2|N_7=1)P(N_9=3|N_8=2,N_7=1)$$ pero $P(N_8=2|N_7=1)$ es igual a $P(X_8=1)=p$ y $P(N_9=3|N_8=2,N_7=1)$ es igual a $P(X_9=1)=p$ porque sabes que ya has tenido éxitos y sólo quieres uno más.

Por último, sólo hay que mezclar todo y utilizar la distribución binomial para $P(N_7=1)$ . $$P(N_7=1,N_8=2,N_9=3)=\binom{7}{1}p(1-p)^6 \cdot p \cdot p=\binom{7}{1}p^3(1-p)^6=0.0195=19.5\%$$