Dejemos que $X$ sea una matriz ortogonal, es decir $XX^T=I$
¿Existe alguna propiedad especial del producto matricial $XX$ ?
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Brian Hinchey
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Como el grupo ortogonal es un grupo tras la multiplicación de matrices, el cuadrado también será ortogonal. Su inverso será $X^T X^T$ . Cuando $X$ es simétrico $X^2$ será la identidad. ¿En qué propiedades ha pensado?
Como la matriz será ortogonal también tiene todas las propiedades de las matrices ortogonales, y en especial todos los valores propios serán 1 en el caso real.
Lo único "especial" de $X^2$ es que pertenece a la especial grupo ortogonal. Aparte de eso, no se puede decir nada especial al respecto.
Como $X$ es ortogonal real, $X^2$ también es ortogonal y $\det(X^2)=1$ es decir $Y=X^2$ pertenece al grupo ortogonal especial. A la inversa, si $Y\in SO(n)$ entonces $Y=X^2$ para alguna matriz ortogonal real $X$ .
De hecho, como $Y$ es una matriz real normal, es ortogonalmente equivalente a su forma real de Jordan, que es la suma directa de $I_p,\,-I_q$ y algunos $r$ matrices de rotación de tamaño $2$ , donde $p+q+2r=n$ . Desde $\det Y=1$ , $q$ debe ser un número par y a su vez $-I_q$ es la suma directa de $q/2$ matrices de rotación para el ángulo $\pi$ . En otras palabras, $Y=Q\left(I_p\oplus R(\theta_1)\oplus\cdots\oplus R(\theta_{(n-p)/2})\right)Q^T$ para alguna matriz ortogonal $Q$ y algunos ángulos $\theta,\ldots,\theta_{(n-p)/2}\in\mathbb{R}$ , donde $R(\theta)$ denota la matriz de rotación de tamaño $2$ correspondiente al ángulo $\theta$ . Por lo tanto, $Y=X^2$ para $X=Q\left(I_p\oplus R\left(\frac{\theta_1}2\right)\oplus\cdots\oplus R\left(\frac{\theta_{(n-p)/2}}2\right)\right)Q^T$ .
