Experimento aleatorio de dos pasos: Densidad de la distribución uniforme y normal combinada

Question

Imagina un experimento aleatorio, donde primero algún número $u$ se dibuja uniformemente en $[c-\varepsilon,c+\varepsilon]$ para $c>0$ y $0<\varepsilon<c$ . A continuación, un $N(u,\sigma^2)$ -variable aleatoria distribuida $Y$ se genera (lo que significa que utilizamos el $u$ del primer paso como media y asumir alguna varianza conocida $\sigma^2>0$ para la distribución normal). Ahora, me interesa la densidad de $Y$ . ¿Cómo se puede obtener esta densidad? ¿Debo calcular la densidad conjunta de $u$ y $Y$ ?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Densidad de $Y$ :

\begin{align} f_Y(y) &= \int_{u=c-\epsilon}^{c+\epsilon} f_{Y|U}(y\mid u)f_U(u)\;du \\ &= \int_{u=c-\epsilon}^{c+\epsilon} \dfrac{1}{2\epsilon}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\;e^{-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{y-u}{\sigma}\right)^2}\;du. \\ \end{align}

Dejemos que $z=(u-y)/\sigma\;$ para que $dz=du/\sigma$ . Entonces,

\begin{align} f_Y(y) &= \dfrac{1}{2\epsilon}\int_{z=(c-\epsilon-y)/\sigma}^{(c+\epsilon-y)/\sigma} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\;e^{-\frac{1}{2}z^2}\;dz \\ & \\ &= \dfrac{1}{2\epsilon}\left[ \Phi\left(\dfrac{c+\epsilon-y}{\sigma}\right) - \Phi\left(\dfrac{c-\epsilon-y}{\sigma}\right)\right]. \end{align}