Ecuación de Laplace esfera unitaria

Question

La ecuación de Laplec viene dada por $\Delta u=0$ con $\Delta u=\sum_{i=1}^{n}u_{x_ix_i}$

Ahora estoy confundido con lo siguiente: ¿Cuáles son las soluciones de la Ec. de Laplace para el interior de la esfera unitaria, que tiene en la superficie los mismos valores que $f_1(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2, f_2(x_1,x_2,x_3)=x_1^2, f_3(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2, f_4(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2$

¿Tiene alguna sugerencia?

Answer 1

Todas las funciones dadas tienen constante Laplaciano. Para $f_1$ ya es cero. Otros tendrán que ser modificados en el interior sin cambiar sus valores en la frontera. Así, las soluciones serán $F_k=f_k+g_k$ donde $\Delta g_k$ es una constante apropiada, y $g_k=0$ en la frontera. Sugerencia a continuación.

Una pista: $g_k$ será un múltiplo constante de $x_1^2+x_2^2+x_3^2-1$ .