¿M acuerdo $p\in M$, existen $f:M-p\to M-p$ bijection continuo pero no Homeomorfismo?

Question

Sea M un espacio métrico compacto. Sabemos que si $ g:M\to M$ es un continuo bijection entonces es una homeomorphism. Pero quiero saber, si tengo una continua bijection $ f:M - \left\{ p \right\} \a M - \left\{ p \right\} $, then it's true that can always be extended to a continuous bijection $M\a M$ o no?

claramente supongo que $ M - \left\{ p \right\} $ es en la restringida métrica de M.

EDITADO: Aun sabiendo que M es el punto compactification y que al abrir los conjuntos de M son todos los bloques abiertos de M-p , y el complemento de los pactos de M-p , incluso con los que no puedo probar el resultado. Tal vez no es cierto. No estoy seguro, si usted desea utilizar que son bienvenidos, y tal vez es falso y necesito un contraejemplo :/ También voy a cambiar el nombre del post

Answer 1

Voy a denotar por $C(\omega)=\{0,1,2,\dots\}\cup\{\omega\}$ el punto de compactification del espacio discreto en el contable, establezca $\{0,1,2,\dots\}$. I. e. todos los puntos diferentes de $\omega$ son aislados y en los barrios de $\omega$ son precisamente los complementos de subconjuntos finitos de $\{0,1,2,\dots\}$.
(Este espacio es homeomórficos para el espacio de $\{0\}\cup\{\frac1{n+1}; n=0,1,2,\dots\}$ con la topología heredada de la línea real. Así que esto es simplemente una secuencia convergente.)

Ahora, yo me $M=\{0,1\}\times C(\omega)$ donde $\{0,1\}$ tiene la topología discreta. (I. e., $M$ es el topológica de la suma de dos copias de $C(\omega)$.) Y yo elija $p=(0,\omega)$.

Es fácil ver que $M$ es un espacio métrico compacto.
(E. g. es homeomórficos a $\{0,1\}\times(\{0\}\cup\{\frac1{n+1}; n=0,1,2,\dots\})$ con la topología inducida por la métrica Euclidiana en $\mathbb R^2$.)
Tenga en cuenta que cada subconjunto de $\{0\}\times C(\omega)$ está abierto en $M\setminus\{p\}$.

Vamos a definir un mapa de $f \colon M\setminus\{p\} \to M\setminus\{p\}$ poniendo $$f(0,2 n)=(1,2 n)\\ f(0,2 n+1)=(0,n)\\ f(1,n)=(1,2 n+1)\\ f(1,\omega)=(1,\omega).$$

Este mapa es bijective y continua, pero la extensión de $\overline f\colon M\to M$ $\overline f(0,\omega)=(0,\omega)$ no es continua, ya que la secuencia de $x_n=(0,2n)$ converge a $(0,\omega)$ $M$ pero $\overline f(x_n)=(1,2n)$ converge a $(1,\omega)\ne \overline f(0,\omega)$.

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Aquí está mi intento de esbozar el mapa de arriba (los dos grandes flechas indican la dirección en la que las secuencias de $C(\omega)\times\{0\}$ $C(\omega)\times\{1\}$ convergen):

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Quizás vale la pena mencionar que el $f^{-1}$ no es continua. La secuencia de $(1,2n)$ converge a $(1,\omega)$ pero $f^{-1}(1,2n)=(0,2n)$ no converge.

Así que esto no contradice el Teorema de 29.1 de Munkres, que fue mencionado en los comentarios.

Teorema de 29.1. Deje $X$ ser un espacio. A continuación, $X$ es localmente compacto Hausdorff si y solo si existe un espacio de $Y$ la satisfacción de las siguientes condiciones:

• $X$ es un subespacio de $Y$.
• El conjunto $Y-X$ se compone de un solo punto.
• $Y$ es un compacto Hausdorff espacio.

Si $Y$ $Y'$ son dos espacios que cumplan estas condiciones, entonces no es un homeomorphism de $Y$ $Y'$ que es igual a la identidad mapa en $x$.

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El OP indicó que él era originalmente pensando en el caso de que $M=S^n$. Desde $S^n$ es el punto de compactification de $\mathbb R^n$, desde el Teorema de 29.1 y del hecho de que todo continua bijection $\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ es un homeomorphism (que se muestra en esta pregunta), observamos que en el caso de $M=S^n$ el resultado de la pregunta es verdadera.

Answer 2

Voy a añadir otro ejemplo que he encontrado en Pedir Un Topologist foro. Este ejemplo es, en cierta medida, similar a la del ejemplo anterior, pero podría ser más fácil de visualizar.

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La primera vez que voy a poner aquí un Látex-ed versión del post que he enlazado:

Este es un ejemplo de un localmente compacto espacio de $S$ y un continuo bijective función de $f\colon S\to S$, que no es un homeomorphism.

Deje $S = \bigcup\limits_{n \in \mathbb Z} S_n \cup \{0\}$ donde $S_n$ es el círculo centrado en el origen con radio de $2^n$.
$S$ es localmente compacto espacio como un subconjunto cerrado de $\mathbb C$.
Definir, por $m$ $n$ en $\mathbb Z$, $f_{m, n} \colon S_m \to S_n$ homeomorphism (por ejemplo, la multiplicación por $2^{n-m}$).
A continuación, defina un bijection $g \colon \mathbb Z \to \mathbb Z$ tal que $g (n) \to - \infty$ al $n \to -\infty$ $g (n)$ no está delimitado por encima ni delimitada por debajo de al $n \to +\infty$.
Por ejemplo, $g$ definido por $g (n) = n/2$ si $n$ es positivo e incluso, $g (n) = -n$ si $n$ es positivo e impar, y $g (n) = -2n$ si $n$ es negativo debe trabajar.

Ahora, considere la posibilidad de $f \colon S \to S$ $$ x \mapsto f_{n, g (n)} (x)\\ 0 \mapsto 0$$

$f$ es un bijection de $S_n$ $S_{g (n)}$por cada $n$ y desde $g$ es de permutación de $\mathbb Z$, $f$ es un bijection de$S - \{0\}$$S - \{0\}$.
$f$ envía $0$$0$, por lo $f$ es un bijection de$S$$S$.
$f$ es continua en cada una de las $S_n$, y es continua en a $0$ desde $g (n) \to -\infty$ al $n \to -\infty$.
Pero $f^{-1}$ no es continua en cero, debido a que $g^{-1} (n) \not\to -\infty$ al $n \to -\infty$.

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Ahora, consideremos $\mathbb C\cup\{\infty\}$ como el uno-punto-compactification de avión.

Luego tenemos el subespacio $M=S\cup\{\infty\}$.

El mapa de $f \colon S\to S$ descrito anteriormente es continua y bijective, pero la extensión de $\overline f \colon M \to M$ tal que $\overline f(\infty)=\infty$ no es continua. Para ver esto, basta con elegir una secuencia $(x_n)_{n=0}^\infty$ tal que $x_n \in S_n$ y observar que $x_n\to\infty$ pero $\overline f(x_n)=f(x_n)$ no converge a $\infty$.

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Curiosamente, cuando yo estaba buscando en Google y tratando de encontrar ejemplos similares en línea, me encontré con la siguiente frase en algún libro:

Esto termina la prueba del teorema, ya que cada continuo bijection entre localmente compacto Hausdorff espacios es un homeomorphism (véase el Teorema 10, en la página 139 de [Eng68]).

Parece que [Eng68] se refiere al libro de R. Engelking (1968). Esquema de la Topología General. traducido del polaco. North-Holland, Amsterdam.

Yo sólo tenga el brillo original de este libro; que por supuesto, tiene una numeración de página diferente; pero no encontré el capítulo local en espacios compactos nada similar a la anterior afirmación. Así que supongo que es un error o (más probablemente) una forma incorrecta.

Answer 3

ADVERTENCIA: acabo de darme cuenta de que hay dos grandes problemas con mi respuesta. El cerrado de la mitad superior del plano es no homeomórficos para el espacio de $X$ obtenido por extracción de un intervalo abierto de la frontera de un sistema cerrado de 2 discos. Es cierto que $X$ tiene un continuo auto bijection que no es un homeomorphism dada por el plegamiento de la frontera en sí mismo, sino $X$ es no localmente compacto , entonces, mi ejemplo no se soluciona el problema. Sin embargo, mi vínculo es todavía relevante porque Jim Belk la respuesta en la misma página se presenta una continua auto-bijection de un local en espacio reducido.

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Como se ha señalado, los espacios se obtiene restando un punto de un compacto Hausdorff espacio son precisamente los localmente compacto Hausdorff espacios. Así que tu pregunta puede reformularse de la siguiente manera.

¿Existe un continuo auto-bijection de un (necesariamente noncompact) localmente compacto Hausdorff espacio que no es un homeomorphism?

Esto es posible incluso para tan agradable un espacio como la mitad superior de avión $\mathbb{H}^2 = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : y \geq 0\}$ (un manifold con frontera!).

También podemos identificar los $\mathbb{H}^2$ con un cerrado 2-disco menos un punto en el límite. O, más útil, una cerrada de 2 discos con un intervalo abierto resta de la frontera. Ahora hay una clara auto-bijection dado por meter el límite en sí misma, y esto no es un homeomorphism. Para una imagen, ver mi respuesta aquí.

Se continua auto-bijections de espacios conectados homeomorphisms?