Demuestre que existe una biyección desde $(0,1)$ a $(0,1]$

Question

Tengo problemas para imaginar una relación biyectiva que mapee $(0,1)$ a $(0,1]$ .

Mi profesor dio la pista de que se puede expresar como una función a trozos $f(x)$ que comprende dos casos: Si $x=$ __ y $x$ de lo contrario.

Podría ser $1$ si $x=\frac{1}{2}$ y $x$ si $0<x<\frac{1}{2}$ o $\frac{1}{2}<x<1$ .

Sin embargo, $f$ no sería entonces una biyección, porque no habría una $x$ valor para $y=\frac{1}{2}$ .

Answer 1

Una pista: Tienes la idea correcta con $1=f(\frac12)$ . Ahora haz $\frac12=f(\frac14)$ , $\frac14=f(\frac18)$ etc. Así que $f(x)=2x$ para algunos valores de $x$ y $f(x)=x$ de lo contrario.

Answer 2

El truco consiste en "desplazar" un subconjunto contablemente infinito de $(0,1)$ . Considere

$$ f(x) = \left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{n-1} & \textrm{ if } x = \frac{1}{n} \textrm{ and } n \in \mathbb{N} \\ x & \textrm{ otherwise } \end{array}\right. $$

este mapa es biyectivo.