Incorporación de $\mathbb{G}_a$ en $GL_2$

Question

Dejemos que $k$ sea un campo algebraicamente cerrado de característica $p$ . Me gustaría encontrar ejemplos interesantes de incrustaciones cerradas $\mathbb{G}_a(k)\hookrightarrow GL_2(k)$ , donde $\mathbb{G}_a(k)$ es $(k,+)$ . Para cualquier valor no nulo $a\in k$ tenemos las dos incrustaciones estándar:

$$c\longmapsto\begin{pmatrix}1&ac\\0&1\end{pmatrix}\qquad\qquad c\longmapsto\begin{pmatrix}1&0\\ac&1\end{pmatrix}$$ Además, para $p=2$ tenemos la incrustación

$$c\longmapsto\begin{pmatrix}1+ac&ac\\ac&1+ac\end{pmatrix}$$

¿Cuáles son otros ejemplos de tales incrustaciones, ya sea en una característica positiva arbitraria o en una característica positiva específica? Si prefieres pensar en términos de álgebras de coordenadas, este problema es equivalente a encontrar mapas de álgebras de Hopf sobreyectivas de $k[GL_2]$ a $k[\mathbb{G}_a]$ . Gracias de antemano.

Edición: Gracias a los comentarios, tenemos para cualquier $a,b\in k$ , no las dos cosas $0$ una incrustación dada por

$$c\longmapsto\begin{pmatrix}1-abc&a^2c\\-b^2c&1+abc\end{pmatrix}$$

Este ejemplo genraliza el anterior $3$ . ¿Todas las incrustaciones tienen esta forma?

Answer 1

Nótese que la imagen de un homomorfismo $f:\mathbb{G}_a\to \mathrm{GL}_2$ es suave, conectada y soluble. Por tanto, la imagen está contenida en un subgrupo de Borel de $\mathrm{GL}_2$ . Pero, los subgrupos de Borel de $\mathrm{GL}_2$ son todos conjugados a

$$B_2=\left\{\begin{pmatrix}\ast & \ast\\ 0 & \ast\end{pmatrix}\right\}\subseteq \mathrm{GL}_2$$

Así, hasta la conjugación, podemos suponer que $f$ tiene imagen en $B_2$ . Pero, observemos que

$$B_2= R_u(B_2)\rtimes T_2=\left\{\begin{pmatrix}1 & \ast\\ 0 & 1\end{pmatrix}\right\}\rtimes \left\{\begin{pmatrix}\ast & 0\\ 0 & \ast\end{pmatrix}\right\}$$

y así, en particular, vemos que $B_2/R_u(B_2)$ es un toroide, y por tanto $f(\mathbb{G}_a)$ aterriza en el interior de $R_u(B_2)\cong \mathbb{G}_a$ .

El anillo de endomorfismo en característica $p$ es $k_\sigma[F]$ --el no conmutativo $k$ -generada por el mapa de Frobenius (por ejemplo, véase [Mil, ejemplo 14.40]). Explícitamente, si se tiene $\displaystyle \sum_{i=0}^n a_i F^i$ en $k_\sigma[F]$ este es el mapa

$$\mathbb{G}_a\to\mathbb{G}_a:x\mapsto \sum_{i=0}^n a_i x^{p^i}$$

Así, en resumen, vemos que hasta $\mathrm{GL}_2(k)$ -conjugación los homomorfismos $\mathbb{G}_a\to \mathrm{GL}_2$ son todos de la forma

$$x\mapsto \begin{pmatrix}1 & \displaystyle \sum_{i=0}^n a_i x^{i^p}\\ 0 & 1\end{pmatrix}$$

para algún elemento $\displaystyle \sum_{i=0}^n a_i F^i \in k_\sigma[F]$ . Evidentemente se trata de incrustaciones si y sólo si $n=0$ y $a_0\in k^\times$ .

[Mil] Milne, J.S., 2017. Algebraic groups: The theory of group schemes of finite type over a field (Vol. 170). Cambridge University Press.