Problema de optimización elegir x para minimizar y

Question

Me he topado con un ejemplo de pregunta de matemáticas durante mi repaso y no tengo ni idea de cómo resolverlo. ¿Alguien puede ayudarme o guiarme?

Dado un trozo de papel rectangular de 11 cm por 8,5 cm . La esquina inferior izquierda debe debe doblarse para llegar al borde superior, como se muestra en el diagrama. ¿Cómo se doblaría de manera que minimizar la longitud del pliegue y ? En otras palabras, ¿cómo se elegir x para minimizar y ? (Pruebe usted mismo con el papel).

Answer 1

Para facilitar la vida, que el ancho del papel sea $1$ Podemos ampliar la escala a $8.5$ al final. Mira el triángulo "que falta" en la parte inferior izquierda. Que el ángulo de la derecha de ese triángulo, el ángulo del pliegue, sea $\theta$ .

Entonces lo que usted ha llamado $x$ es $y\sin\theta$ .

Ahora mira el pequeño triángulo en la parte superior izquierda. Su ángulo inferior, por la búsqueda de ángulos, es $2\theta$ . Su hipotenusa es $y\sin\theta$ y el lado "adyacente" es $1-y\sin\theta$ . Así obtenemos $$\frac{1-y\sin\theta}{y\sin\theta}=\cos 2\theta.$$ Resolver para $y$ . Obtenemos $$y=\frac{1}{\sin\theta(\cos 2\theta +1)}.$$ La identidad $\cos 2\theta=2\cos^2\theta -1$ mejora esto a $$y=\frac{1}{2\sin\theta\cos^2\theta}$$ Queremos minimizar $y$ . Así que queremos maximizar $\sin\theta\cos^2\theta$ Es decir, $2\sin\theta(1-\sin^2\theta)$ . Así que en esencia estamos minimizando $2t-2t^3$ .

Diferencia como siempre. Encontramos que para los más pequeños $y$ necesitamos $\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}$ . El correspondiente $y$ es $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ que (casi) da $\frac{3}{4}$ para su $x$ excepto que tenemos que escalar por el factor $8.5$ . La belleza del número $\frac{3}{4}$ sin duda significa que la forma de cálculo, aunque bastante simple, no es óptima.

Answer 2

La longitud del papel es una tontería, se puede arrugar incluso una tira de papel infinitamente larga. Considerando la tira infinitamente larga, y moviendo el punto donde el pliegue toca el margen inferior hacia la derecha, se ve el máximo $y$ es sólo $\infty$ . Mover ese punto a la izquierda disminuye $y$ que se reduce al mínimo cuando $x$ llega a la cima, es decir, $x = 8.5$ con $y = 8.5 \sqrt{2}$ .