¿Hay una probabilidad de 1 entre 20 o 1 entre 400 de adivinar el resultado de una tirada de d20 antes de que ocurra?

Question

Mis amigos tienen una pequeña discusión sobre Dragones y Mazmorras. Mi jugador consiguió adivinar el resultado de una tirada de D20 antes de que ocurriera, y mi amigo dice que su probabilidad de adivinar el número es de 1 entre 20. Otro amigo argumenta que su probabilidad de adivinar la tirada es de 1 entre 400 porque la probabilidad de que adivine un número al azar y luego lo tire es de 1 entre 20, así que la probabilidad compuesta es de 1 entre 400. ¿Cuál de estas probabilidades es una mejor caracterización de nuestra situación, y cuáles eran realmente sus posibilidades?

Answer 1

Hay 400 posibilidades y 20 de ellas, cada una ocurre con probabilidad $\frac{1}{400}$ , tienen la conjetura igual al resultado. Por lo tanto, la probabilidad total de que la suposición sea igual al resultado es $20\cdot \frac{1}{400} = \frac{20}{400} = \frac{1}{20}$

$$\small{ \begin{array}{rc} & \text{OUTCOME}\\ \begin{array}{} \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(270deg)}{\text{S}} \\ \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(270deg)}{\text{S}} \\ \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(270deg)}{\text{E}} \\ \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(270deg)}{\text{U}} \\ \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(270deg)}{\text{G}} \\ \end{array} &\begin{array}{c|ccccccccccccccccccccccccccc} &1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20 \\ \hline 1 & \color{red}{ \frac{1}{400}}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}\\ 2 & \frac{1}{400}& \color{red}{ \frac{1}{400}}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}\\ 3 & \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \color{red}{ \frac{1}{400}}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}\\ 4 & \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \color{red}{ \frac{1}{400}}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}\\ 5 & \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \color{red}{ \frac{1}{400}}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}\\ 6 & \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \color{red}{ \frac{1}{400}}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}\\ 7 & \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \color{red}{ \frac{1}{400}}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}\\ 8 & \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \color{red}{ \frac{1}{400}}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}\\ 9 & \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \color{red}{ \frac{1}{400}}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}\\ 10 & \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \color{red}{ \frac{1}{400}}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}\\ 11 & \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \color{red}{ \frac{1}{400}}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}\\ 12 & \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \color{red}{ \frac{1}{400}}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}\\ 13 & \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \color{red}{ \frac{1}{400}}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}\\ 14 & \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \color{red}{ \frac{1}{400}}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}\\ 15 & \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \color{red}{ \frac{1}{400}}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}\\ 16 & \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \color{red}{ \frac{1}{400}}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}\\ 17 & \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \color{red}{ \frac{1}{400}}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}\\ 18 & \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \color{red}{ \frac{1}{400}}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}\\ 19 & \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \color{red}{ \frac{1}{400}}& \frac{1}{400}\\ 20 & \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \color{red}{ \frac{1}{400}}\\ \end{array}\end{array}}$$

Más información

Si las conjeturas no tienen igual ${1}/{20}$ probabilidad para cada número, sino que los valores $p_i$ entonces las 400 posibilidades no serían todas con probabilidad $(1/20)\cdot(1/20)={1}/{400}$ pero en cambio ${p_i}/{20}$ .

Sin embargo, el concepto no es diferente. La respuesta se reduce de nuevo a la suma de la diagonal y es $\sum_{i=1}^{20} \frac{p_i}{20} = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} p_i = \frac{1}{20}$ .

$$\small{ \begin{array}{rc} & \text{OUTCOME}\\ \begin{array}{} \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(270deg)}{\text{S}} \\ \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(270deg)}{\text{S}} \\ \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(270deg)}{\text{E}} \\ \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(270deg)}{\text{U}} \\ \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(270deg)}{\text{G}} \\ \end{array} &\begin{array}{c|ccccccccccccccccccccccccccc} &1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20 \\ \hline 1& \color{red}{ \frac{p_{1}}{20}}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}\\2& \frac{p_{2}}{20}& \color{red}{ \frac{p_{2}}{20}}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}\\3& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \color{red}{ \frac{p_{3}}{20}}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}\\4& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& \color{red}{ \frac{p_{4}}{20}}& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}\\5& \frac{p_{5}}{20}& \frac{p_{5}}{20}& \frac{p_{5}}{20}& \frac{p_{5}}{20}& \color{red}{ \frac{p_{5}}{20}}& \frac{p_{5}}{20}& \frac{p_{5}}{20}& \frac{p_{5}}{20}& \frac{p_{5}}{20}& \frac{p_{5}}{20}& \frac{p_{5}}{20}& \frac{p_{5}}{20}& \frac{p_{5}}{20}& \frac{p_{5}}{20}& \frac{p_{5}}{20}& \frac{p_{5}}{20}& \frac{p_{5}}{20}& \frac{p_{5}}{20}& \frac{p_{5}}{20}& \frac{p_{5}}{20}\\6& \frac{p_{6}}{20}& \frac{p_{6}}{20}& \frac{p_{6}}{20}& \frac{p_{6}}{20}& \frac{p_{6}}{20}& \color{red}{ \frac{p_{6}}{20}}& \frac{p_{6}}{20}& \frac{p_{6}}{20}& \frac{p_{6}}{20}& \frac{p_{6}}{20}& \frac{p_{6}}{20}& \frac{p_{6}}{20}& \frac{p_{6}}{20}& \frac{p_{6}}{20}& \frac{p_{6}}{20}& \frac{p_{6}}{20}& \frac{p_{6}}{20}& \frac{p_{6}}{20}& \frac{p_{6}}{20}& \frac{p_{6}}{20}\\7& \frac{p_{7}}{20}& \frac{p_{7}}{20}& \frac{p_{7}}{20}& \frac{p_{7}}{20}& \frac{p_{7}}{20}& 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\frac{p_{9}}{20}& \frac{p_{9}}{20}& \frac{p_{9}}{20}\\10& \frac{p_{10}}{20}& \frac{p_{10}}{20}& \frac{p_{10}}{20}& \frac{p_{10}}{20}& \frac{p_{10}}{20}& \frac{p_{10}}{20}& \frac{p_{10}}{20}& \frac{p_{10}}{20}& \frac{p_{10}}{20}& \color{red}{ \frac{p_{10}}{20}}& \frac{p_{10}}{20}& \frac{p_{10}}{20}& \frac{p_{10}}{20}& \frac{p_{10}}{20}& \frac{p_{10}}{20}& \frac{p_{10}}{20}& \frac{p_{10}}{20}& \frac{p_{10}}{20}& \frac{p_{10}}{20}& \frac{p_{10}}{20}\\11& \frac{p_{11}}{20}& \frac{p_{11}}{20}& \frac{p_{11}}{20}& \frac{p_{11}}{20}& \frac{p_{11}}{20}& \frac{p_{11}}{20}& \frac{p_{11}}{20}& \frac{p_{11}}{20}& \frac{p_{11}}{20}& \frac{p_{11}}{20}& \color{red}{ \frac{p_{11}}{20}}& \frac{p_{11}}{20}& \frac{p_{11}}{20}& \frac{p_{11}}{20}& \frac{p_{11}}{20}& \frac{p_{11}}{20}& \frac{p_{11}}{20}& \frac{p_{11}}{20}& \frac{p_{11}}{20}& \frac{p_{11}}{20}\\12& \frac{p_{12}}{20}& \frac{p_{12}}{20}& \frac{p_{12}}{20}& \frac{p_{12}}{20}& \frac{p_{12}}{20}& \frac{p_{12}}{20}& \frac{p_{12}}{20}& \frac{p_{12}}{20}& \frac{p_{12}}{20}& \frac{p_{12}}{20}& \frac{p_{12}}{20}& \color{red}{ \frac{p_{12}}{20}}& \frac{p_{12}}{20}& \frac{p_{12}}{20}& \frac{p_{12}}{20}& \frac{p_{12}}{20}& \frac{p_{12}}{20}& \frac{p_{12}}{20}& \frac{p_{12}}{20}& \frac{p_{12}}{20}\\13& \frac{p_{13}}{20}& \frac{p_{13}}{20}& \frac{p_{13}}{20}& \frac{p_{13}}{20}& \frac{p_{13}}{20}& \frac{p_{13}}{20}& \frac{p_{13}}{20}& \frac{p_{13}}{20}& \frac{p_{13}}{20}& \frac{p_{13}}{20}& \frac{p_{13}}{20}& \frac{p_{13}}{20}& \color{red}{ \frac{p_{13}}{20}}& \frac{p_{13}}{20}& \frac{p_{13}}{20}& \frac{p_{13}}{20}& \frac{p_{13}}{20}& \frac{p_{13}}{20}& \frac{p_{13}}{20}& \frac{p_{13}}{20}\\14& \frac{p_{14}}{20}& \frac{p_{14}}{20}& \frac{p_{14}}{20}& \frac{p_{14}}{20}& \frac{p_{14}}{20}& \frac{p_{14}}{20}& \frac{p_{14}}{20}& \frac{p_{14}}{20}& \frac{p_{14}}{20}& \frac{p_{14}}{20}& \frac{p_{14}}{20}& \frac{p_{14}}{20}& \frac{p_{14}}{20}& \color{red}{ \frac{p_{14}}{20}}& \frac{p_{14}}{20}& \frac{p_{14}}{20}& \frac{p_{14}}{20}& \frac{p_{14}}{20}& \frac{p_{14}}{20}& \frac{p_{14}}{20}\\15& \frac{p_{15}}{20}& \frac{p_{15}}{20}& \frac{p_{15}}{20}& \frac{p_{15}}{20}& \frac{p_{15}}{20}& \frac{p_{15}}{20}& \frac{p_{15}}{20}& \frac{p_{15}}{20}& \frac{p_{15}}{20}& \frac{p_{15}}{20}& \frac{p_{15}}{20}& \frac{p_{15}}{20}& \frac{p_{15}}{20}& \frac{p_{15}}{20}& \color{red}{ \frac{p_{15}}{20}}& \frac{p_{15}}{20}& \frac{p_{15}}{20}& \frac{p_{15}}{20}& \frac{p_{15}}{20}& \frac{p_{15}}{20}\\16& \frac{p_{16}}{20}& \frac{p_{16}}{20}& \frac{p_{16}}{20}& \frac{p_{16}}{20}& \frac{p_{16}}{20}& \frac{p_{16}}{20}& \frac{p_{16}}{20}& \frac{p_{16}}{20}& \frac{p_{16}}{20}& \frac{p_{16}}{20}& \frac{p_{16}}{20}& \frac{p_{16}}{20}& \frac{p_{16}}{20}& \frac{p_{16}}{20}& \frac{p_{16}}{20}& \color{red}{ \frac{p_{16}}{20}}& \frac{p_{16}}{20}& \frac{p_{16}}{20}& \frac{p_{16}}{20}& \frac{p_{16}}{20}\\17& \frac{p_{17}}{20}& \frac{p_{17}}{20}& \frac{p_{17}}{20}& \frac{p_{17}}{20}& \frac{p_{17}}{20}& \frac{p_{17}}{20}& \frac{p_{17}}{20}& \frac{p_{17}}{20}& \frac{p_{17}}{20}& \frac{p_{17}}{20}& \frac{p_{17}}{20}& \frac{p_{17}}{20}& \frac{p_{17}}{20}& \frac{p_{17}}{20}& \frac{p_{17}}{20}& \frac{p_{17}}{20}& \color{red}{ \frac{p_{17}}{20}}& \frac{p_{17}}{20}& \frac{p_{17}}{20}& \frac{p_{17}}{20}\\18& \frac{p_{18}}{20}& \frac{p_{18}}{20}& \frac{p_{18}}{20}& \frac{p_{18}}{20}& \frac{p_{18}}{20}& \frac{p_{18}}{20}& \frac{p_{18}}{20}& \frac{p_{18}}{20}& \frac{p_{18}}{20}& \frac{p_{18}}{20}& \frac{p_{18}}{20}& \frac{p_{18}}{20}& \frac{p_{18}}{20}& \frac{p_{18}}{20}& \frac{p_{18}}{20}& \frac{p_{18}}{20}& \frac{p_{18}}{20}& \color{red}{ \frac{p_{18}}{20}}& \frac{p_{18}}{20}& \frac{p_{18}}{20}\\19& \frac{p_{19}}{20}& \frac{p_{19}}{20}& \frac{p_{19}}{20}& \frac{p_{19}}{20}& \frac{p_{19}}{20}& \frac{p_{19}}{20}& \frac{p_{19}}{20}& \frac{p_{19}}{20}& \frac{p_{19}}{20}& \frac{p_{19}}{20}& \frac{p_{19}}{20}& \frac{p_{19}}{20}& \frac{p_{19}}{20}& \frac{p_{19}}{20}& \frac{p_{19}}{20}& \frac{p_{19}}{20}& \frac{p_{19}}{20}& \frac{p_{19}}{20}& \color{red}{ \frac{p_{19}}{20}}& \frac{p_{19}}{20}\\20& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \color{red}{ \frac{p_{20}}{20}}\\ \end{array}\end{array}}$$

Más interesante es el caso en que ambas probabilidades, para la conjetura y para el resultado, no son uniformes (no son probabilidades iguales). Por ejemplo, podríamos imaginar que se lanza un d20 injusto dos veces. Entonces la probabilidad será igual a la expectativa $E[p_i] = \sum_{i=1}^{20} p_i^2$ . Esto será mayor que $\frac{1}{20}$ si el $p_i$ son desiguales.

Answer 2

¡Vamos a simularlo!

set.seed(2021)
R <- 10000
d <- 20
guess <- sample(seq(1, d, 1), R, replace = T)
roll <- sample(seq(1, d, 1), R, replace = T)
length(which(guess == roll))/R

Entiendo que sobre $1/20$ $(486/10000)$ veces mi suposición coincide con el rollo. Si cortas el último dígito de la semilla y ejecutas el código con set.seed(202) , obtengo exactamente $5\%$ . Con la semilla del próximo año de 2022 Me sale $4.99\%$ .

En términos más matemáticos, se trata de la diferencia entre la probabilidad de sacar un número Y adivinar ese número (probablemente no es lo que le interesa) frente a sacar un número DADA su conjetura. Suponiendo que la tirada y la suposición son independientes...

$$ P(Roll = n) = 1/20\\ P(Guess = n) = 1/20\\ P(Roll = n \text{ AND } Guess = n) = 1/400\\ P(Roll = n \vert Guess = n) = \dfrac{P(Roll = n \text{ AND } Guess = n)}{P(Guess = n)} = \dfrac{1/400}{1/20} = 1/20 $$

EDITAR

Si no tienes la misma probabilidad de cada número, el cálculo puede ser modificado. Haré el caso en el que el humano no es necesariamente bueno para elegir números con probabilidad uniforme de cada número. Una vez más, se asume la independencia de la conjetura y la tirada.

$$ P(Roll = n) = 1/20\\ P(Guess = n) = p\\ P(Roll = n \text{ AND } Guess = n) = p/20\\ P(Roll = n \vert Guess = n) = \dfrac{P(Roll = n \text{ AND } Guess = n)}{P(Guess = n)} = \dfrac{p/20}{p} = 1/20 $$

Si también el d20 no es justo:

$$ P(Roll = n) = p_1\\ P(Guess = n) = p_2\\ P(Roll = n \text{ AND } Guess = n) = p_1p_2\\ P(Roll = n \vert Guess = n) = \dfrac{P(Roll = n \text{ AND } Guess = n)}{P(Guess = n)} = \dfrac{p_1p_2}{p_2} = p_1 $$

Así que sólo depende de la probabilidad de sacar un número concreto.

Answer 3

No creo que ninguna de las respuestas existentes indique explícitamente por qué la respuesta es 1 entre 20 aunque el amigo no tenga la misma probabilidad de adivinar los 20 números (no lo son - los humanos no son buenos generadores de números aleatorios, y el amigo podría ni siquiera estar tratando de adivinar al azar).

Para cada tirada posible $i$ , dejemos que $p_i$ sea la probabilidad de que su amigo adivine $i$ . Sabemos que estas probabilidades deben sumar 1: $$\sum_{i=1}^{20}p_i = 1$$

Entonces la probabilidad de que el amigo adivine correctamente es:

$$ \sum_{i=1}^{20} P(\text{friend guesses } i)P(\text{roll }i) = \sum_{i=1}^{20}p_i \frac{1}{20} = \frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20}p_i = \frac{1}{20} $$

Answer 4

Tu amigo está confundiendo la situación en la que ambos jugadores tiran el mismo número específico (que te daría 1/400) frente a la situación en la que tú tienes que tirar el mismo número pero puede ser cualquier número (1/20). Supongo que su confusión es que usted tiene que tirar el número específico que su amigo adivinó pero, lo que hace que parezca la primera situación que describí, sin embargo la diferencia es que su conjetura podría haber sido cualquier número.

Answer 5

Sí para cualquier número específico $1,\ldots,20$ la probabilidad de que tu amigo elija ese número y el dado lo lance es de 1/400, pero debes marginar sobre todas las opciones posibles:

Si $X\sim \text{Unif}(1,\ldots,20)$ , $Y\sim \text{Unif}(1,\ldots,20)$ , Dejemos que $Z=X-Y$ entonces

$$ \begin{align*} \text{P}(\text{predict roll}) &= \text{P}(Z=0)\\ &= \sum_{y=1}^{20} P(X=0+y)P(Y=y) &&\text{convolution formula for sums of random variables}\\ &= \sum_{y=1}^{20} \tfrac{1}{20}\tfrac{1}{20}\\ &= \tfrac{1}{20} \end{align*} $$

Y por simulación

tmp <- data.frame(x=sample(1:20, size=100000, replace=TRUE ), y=sample(1:20, size=100000, replace=TRUE ))
> mean(tmp$x == tmp$y)
[1] 0.0497