demostrando que la función $f(x) = \lambda(S ∩ (S + x))$ es un proceso continuo y $\lim_{x\to\infty} f(x) = 0$

Question

Dejemos que $S \subset \mathbb{R}$ sea un subconjunto medible de Borel con medida de Lebesgue finita finita. Demuestre que la función $f(x) = \lambda(S (S + x))$ es una función continua función de $x$ y que $\lim_{x\to\infty} f(x) = 0$ .

$\textbf{My attempt:}$ Lo he intentado pero no estoy seguro y me he atascado (aunque creo que en general estoy en la dirección correcta).

Tengo que demostrar que $\forall \epsilon>0, \forall x\in S$ , $\exists \delta>0$ s.t. si $|x-x_n|<\delta$ entonces $|f(x)-f(x_n)|<\epsilon$ .

Así pues, supongamos que $|x-x_n|<\delta$ , arreglar $x\in S$ . Puedo escribir \begin{align} f(x) & = \lambda(S (S + x)) =\int_\mathbb{R} \chi_{S (S + x)}(t)d\lambda(t)=\int_\mathbb{R} \chi_{S}(t) \chi_{(S + x)}(t)d\lambda(t)\\ & = \int_\mathbb{R} \chi_{S}(t) \chi_{S}(t-x)d\lambda(t) \end{align}

así que \begin{align} |f(x)-f(x_n)| & =|\int_\mathbb{R} \chi_{S}(t) \chi_{S}(t-x)d\lambda(t)-\int_\mathbb{R} \chi_{S}(y) \chi_{S}(y-x_n)d\lambda(y)|\\ & = ... \end{align}

para la segunda parte; \begin{align} \lim_{x\to\infty}f(x) & = \lim_{x\to\infty}\int_\mathbb{R} \chi_{S}(t) \chi_{S}(t-x)d\lambda(t)\\ & =\int_\mathbb{R} \chi_{S}(t) \lim_{x\to\infty}\chi_{S}(t-x)d\lambda(t) ~~ {DCT}\\ & = 0 ~~ \text{since} ~~ \chi_{S}(t-x)\to 0 ~~ \text{as} ~~x\to\infty \end{align}

Answer 1

Hay un hecho útil: Para $\varphi\in L^{1}$ entonces $\displaystyle\int|\varphi(x+t)-\varphi(t)|dt\rightarrow 0$ como $x\rightarrow 0$ .

Consideremos primero una función continua compactamente soportada, apliquemos el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue a esta función continua, y luego sigue el caso general por la densidad de todas esas funciones en $L^{1}$ .

La segunda parte no es correcta, ya que $\chi_{S}(t-x)$ no necesita converger a cero como $x\rightarrow\infty$ . Pero esto servirá para un conjunto acotado $S$ . Para ello, elija un conjunto compacto $K$ tal que $|S-K|$ es pequeño, entonces \begin{align*} \int\chi_{S}(t)\chi_{S}(t-x)=\int\chi_{S}(t)\chi_{S}(t-x)-\chi_{K}(t)\chi_{K}(t-x)+\int\chi_{K}(t)\chi_{K}(t-x), \end{align*} el término $\displaystyle\int\chi_{K}(t)\chi_{K}(t-x)$ va a cero por el teorema de convergencia dominante de Lebesgue, y \begin{align*} &\left|\int\chi_{S}(t)\chi_{S}(t-x)-\chi_{K}(t)\chi_{K}(t-x)\right|\\ &=\left|\int(\chi_{S}(t)-\chi_{K}(t))\chi_{S}(t-x)+\int\chi_{K}(t)(\chi_{S}(t-x)-\chi_{K}(t-x))\right|\\ &\leq|S-K|+\int\left|\chi_{S}(t-x)-\chi_{K}(t-x)\right|\\ &=2|S-K|, \end{align*} que también es pequeño.

Answer 2

En lugar de utilizar el $\epsilon$ - $\delta$ definición de continuidad, demuestre que si $x_n\rightarrow x$ entonces $f(x_n)\rightarrow f(x)$ . Dicha prueba debería ser similar a la prueba que diste para la segunda parte.

Answer 3

También puede ver $ f(t) = \lambda(S (S + x)) = 1_{S} * 1_{-S}(x) $ y utilizar que la colvolución de 2 funciones en $ L^2(\mathbb{R}) $ da una $C_0(\mathbb{R}) $ función.