es continua

Question

Supongamos que $\|f\|_p &lt \infty$ % todo $1\leq p &lt p'$, quiero saber si la siguiente es verdadero y en ese caso cómo lo

es continua en $p \mapsto \|f\|_p$ $[1,p')$

O tal vez tenemos que imponer algunas restricciones más como espacio de medida finita. En caso de espacio de medida finita, intenté utilizar Teorema de Egoroff.

Answer 1

Basta para mostrar $g(p) = \int_X |f|^p$ es continua, porque entonces $||f||_p = g(p)^{1 \over p} = e^{\log(g(p)) \over p}$ es continua.

Tenga en cuenta que $g(p) = \int_{|f| > 1} |f|^p + \int_{|f| \leq 1}|f|^p$. Para mostrar la continuidad de cada término en un $p_0$, puede utilizar el teorema de convergencia dominada; $\epsilon > 0$, $|f|^{p_0 + \epsilon}$ servirá como una función dominante para la primera integral y $|f|^{p_0 - \epsilon}$ servirá como una función dominante de la segunda (a menos que $p_0 = 1$ en cuyo caso solo utilice $|f|$).