¿Qué concepto axiomatiza un conjunto abierto?

Question

En el contexto de las topologías métricas (y, en general, de primer recuento), está razonablemente claro qué es un conjunto cerrado: un conjunto $F$ es cerrado si y sólo si toda secuencia convergente de puntos en $F$ converge a un punto también en $F$ . Esto se generaliza naturalmente a la definición de un conjunto cerrado en un espacio topológico arbitrario utilizando el concepto de puntos límite... pero los puntos límite se definen en términos de conjuntos abiertos, que son, para mí, algo más misteriosos que los conjuntos cerrados.

Una vez me dijeron que los ultrafiltros axiomatizan el concepto de (conjuntos de) grandes conjuntos. Espero encontrar aquí una imagen conceptual similar de las topologías definidas por sistemas de conjuntos abiertos, preferiblemente sin referencia a los conjuntos cerrados. Una de las explicaciones que he visto es que los conjuntos abiertos axiomatizan el concepto de proximidad, lo cual, supongo, es bastante justo al menos para las topologías métricas. En efecto, si algo "ocurre" en puntos cercanos a $x \in X$ entonces suele ocurrir que todos los barrios abiertos $U \subseteq X$ de $x$ contiene un subconjunto abierto $V \subseteq U$ , $x \in V$ , de manera que el algo "sucede" en todos los puntos de $V$ . Pero, ¿qué ocurre con las topologías no medibles, en particular las gruesas, en las que no hay conjuntos abiertos "pequeños"?

Consideremos, por ejemplo, la topología de Zariski sobre la afinidad $n$ -espacio $\mathbb{A}^n$ . $\mathbb{A}^n$ es irreducible, por lo que cada conjunto abierto no vacío es denso. Parece razonable interpretar esto como que todo conjunto abierto no vacío es "grande". De hecho, si trabajamos sobre los números complejos, en la geometría métrica habitual, los conjuntos abiertos de Zariski son ilimitados y tienen medida completa, por lo que son muy grandes, así que no creo que sea justo decir que los conjuntos abiertos están capturando la noción de proximidad aquí.

También tengo curiosidad por la historia de la topología de conjuntos de puntos. ¿Cuándo se escribieron por primera vez los axiomas? ¿Cuáles fueron los primeros ejemplos "no geométricos" de espacios topológicos - "no geométricos" se refiere aquí a topologías no medibles o a topologías sobre conjuntos que no sean conjuntos de puntos de algún objeto intuitivamente geométrico- y formaron parte de las motivaciones para crear la topología de conjuntos de puntos?

Answer 1

Edición, 7/10/11: La idea que se expone a continuación también se debatió recientemente en esta entrada del blog por Michael O'Connor.

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Esto se discutió a fondo en MathOverflow . Las respuestas que me parecieron más convincentes pueden resumirse así: los conjuntos abiertos axiomatizan la noción de propiedad semidecidible .

Es decir, los conjuntos abiertos axiomatizan la noción de una condición cuya verdad puede ser verificada en tiempo finito (pero cuya falsedad no puede ser necesariamente verificada en tiempo finito). Una función continua $f : A \to B$ entre dos espacios es una función tal que la preimagen de cualquier subconjunto semidecidible es semidecidible, por tanto es una función computable en el sentido de que un procedimiento de decisión para verificar si $f(a) \in U \subset B$ en tiempo finito da un procedimiento de decisión para verificar si $a \in V \subset A$ en un tiempo finito.

Para que tenga sentido lo que acabo de decir arriba debes pensar en $A$ como el conjunto de condiciones posibles de algún sistema, $f$ como una medida de alguna propiedad del sistema, y $B$ como el conjunto de posibles valores de la propiedad que estás midiendo. A continuación, $f$ es computable precisamente cuando la información sobre $f(a)$ nos permite deducir información sobre $a$ . En cierto sentido, la premisa central del método científico es que esto es posible.

Obsérvese que la descripción anterior pone de manifiesto el papel especial del Espacio de Sierpinski $\mathbb{S}$ . En efecto, un subconjunto de un espacio topológico $X$ está abierto precisamente cuando la función indicadora $X \to \mathbb{S}$ es continua.

Sobre los axiomas:

• La unión de una colección arbitraria de conjuntos abiertos es abierta porque cualquier procedimiento de decisión para verificar las condiciones $U_i, i \in I$ en tiempo finito pueden ejecutarse en paralelo para verificar la condición $\bigcup U_i$ en un tiempo finito.
• La intersección de una colección finita, pero no necesariamente infinita, de conjuntos abiertos es abierta porque un número finito de procedimientos de decisión para verificar las condiciones $U_1, ... U_n$ en tiempo finito pueden ejecutarse en paralelo para verificar la condición $\bigcap U_i$ en un tiempo finito, pero esto no es necesariamente cierto para un número infinito de procedimientos de decisión, que pueden tardar un tiempo ilimitado en completarse.
• El conjunto vacío y todo el espacio son abiertos porque ambas condiciones pueden verificarse en tiempo cero.

Por último, nótese que es intuitivamente posible verificar si un punto de un espacio métrico se encuentra en una bola abierta en tiempo finito demostrando que se encuentra en una bola abierta aún más pequeña (lo que puede hacerse utilizando cálculos de precisión finita), pero no es necesariamente posible hacer lo mismo para una bola cerrada porque el punto puede estar en el límite y no podemos hacer mediciones arbitrariamente precisas en tiempo finito.

En el caso particular de la topología de Zariski, siempre es posible verificar en tiempo finito si un polinomio es distinto de cero en un punto calculando con suficiente precisión, pero sin información adicional no es necesariamente posible verificar en tiempo finito si un polinomio es cero en un punto.

Answer 2

Sólo quiero dar un ejemplo a la hermosa respuesta de Qiaochu.

En Jet Nestruev's libro hay que seguir la interpretación física de las estructuras en el colector liso (o más bien cómo se puede modelar el sistema físico con el colector liso):

• sistema físico = colector $M$
• estado del sistema = punto de $M,$ $x\in M$
• dispositivo de medición = función activada $M,$ $f:M\to\mathbb{R}$ (suaves, pero se adhieren a los continuos)

Conectando esto con la respuesta de Qiaochu obtenemos una interpretación adicional

• condición $C$ en el sistema de tal manera que se verifica si el estado satisface $C$ sólo requiere una cantidad finita de dispositivos de medición = conjunto abierto en $M,$ $U\subset M.$

Answer 3

Creo que es un error buscar el significado de los conjuntos abiertos. Son simplemente un artefacto de cómo se axiomatizan comúnmente los espacios topológicos.

Para motivar esta axiomatización, consideremos la definición de alta escuela de una función continua de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ : $f$ es continuo en $x$ si para todo $\varepsilon > 0$ , $\exists \delta > 0$ de manera que si $x'$ está dentro de $\delta$ de $x$ , $f(x')$ está dentro de $\varepsilon$ de $f(x)$ . En otras palabras, definir un bola centrado en $x$ de radio $r > 0$ , $B(x, r)$ para ser los puntos (estrictamente) dentro de $r$ de $x$ la definición se reduce a esto: para cada bola $B := B(f(x), \varepsilon)$ hay una bola $B(x, \delta)$ que $f$ mapas a $B$ .

Llegados a este punto, podemos ver que no hay ninguna razón técnica para exigir que las bolas estén formadas por puntos situados a una determinada distancia de un centro. Podemos simplemente definir las bolas en un espacio explícitamente y trasladar la definición de continuidad a nuestra nueva noción de espacios. La noción de continuidad resultante es una generalización estricta de la definición original y resulta muy útil, ya que permite razonar de forma similar sobre todo tipo de espacios.

En otras palabras, los conjuntos abiertos hacen que los espacios topológicos funcionen, y los espacios topológicos son una noción muy general de un conjunto sobre el que existe una noción de funciones continuas.

Answer 4

Sólo quería añadir una aclaración a la esclarecedora respuesta de Qiachou Yuan:

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• La unión de una colección arbitraria de conjuntos abiertos es abierta porque cualquier procedimiento de decisión para verificar las condiciones Ui,i∈I U i , i ∈ I en tiempo finito pueden ejecutarse en paralelo para verificar la condición ⋃Ui ⋃ U i en tiempo finito.
• La intersección de una colección finita, pero no necesariamente infinita, de conjuntos abiertos es abierta porque un número finito de procedimientos de decisión para verificar las condiciones U1,...Un U 1 , . . . U n en tiempo finito pueden ejecutarse en paralelo para verificar la condición ⋂Ui ⋂ U i en tiempo finito, pero esto no es necesariamente cierto en el caso de un número infinito de procedimientos de decisión, que pueden tardar un tiempo ilimitado en completarse.
• El conjunto vacío y todo el espacio son abiertos porque ambas condiciones pueden verificarse en tiempo cero.

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En respuesta al comentario de Zhen Lin:

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Siento resucitar una vieja pregunta, pero me acabo de dar cuenta de que la analogía no está tan clara. Es bastante razonable decir que la unión de una colección contable de conjuntos semidecidibles es de nuevo semidecidible, por un argumento estándar de intercalación... pero no está claro que una unión incontable de conjuntos semidecidibles deba ser semidecidible. - Zhen Lin 2 Jun '11 a las 17:21

@Zhen: puedes ejecutar un número arbitrario de procedimientos de decisión en paralelo. (Este es un modelo de computación bastante idealizado). No estoy seguro de lo que quieres decir con "un argumento estándar de intercalación". - Qiaochu Yuan 2 Jun '11 a las 17:23 6

Hmmm. Es más idealizado que las máquinas de Turing, ¡eso es seguro! Por argumento de intercalación, me refiero a lo siguiente: Que P1,P2,P3, P 1 , P 2 , P 3 , sean procedimientos de decisión. Entonces podemos construir un único procedimiento de decisión P P que se detiene cuando algún Pn P n se detiene de esta manera: Primero, ejecuta el paso 1 1 de P1 P 1 y, a continuación, ejecute el paso 1 1 de P2 P 2 y el paso 2 2 de P1 P 1 y luego ejecutar el paso 1 1 de P3 P 3 , paso 2 2 de P2 P 2 y el paso 3 3 de P1 P 1 y así sucesivamente. No estoy totalmente seguro de que esto esté permitido en el modelo de la máquina de Turing, pero parece bastante razonable. - Zhen Lin 2 Jun '11 a las 17:30 1

@Zhen: sí, no es un modelo de máquina de Turing. - Qiaochu Yuan 2 Jun '11 a las 18:28

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Como dijo Qiachou Yuan, se puede verificar la apertura de la unión de conjuntos abiertos arbitrarios en tiempo finito ejecutando los procedimientos de decisión para cada Ui,i∈I en paralelo (el tiempo total sería igual al procedimiento de verificación más lento).

Sin embargo, este no es el caso de una intersección arbitraria de conjuntos abiertos. Esto se debe a que cualquier procedimiento de decisión para verificar una intersección requiere al menos 2 conjuntos abiertos (para calcular el solapamiento). Se podría intentar ejecutar esto en paralelo calculando las intersecciones de pares de conjuntos abiertos, y luego calculando las intersecciones de las intersecciones, y así sucesivamente. Sin embargo, para una colección infinita de conjuntos abiertos, este proceso tendría que continuar indefinidamente (para visualizarlo, recuerde que contar los enteros de 2 en 2 - 0, 2, 4, ... - sigue dando lugar a un conjunto contablemente infinito).

Está bien ejecutar infinitos procesos de decisión en paralelo (porque ya estamos tratando con espacios infinitos), pero para infinitas intersecciones ni siquiera el proceso paralelo terminaría.

Answer 5

En principio, creo que hay algunos puntos poco claros en los argumentos de semidecidibilidad, por lo que he intentado publicar una pregunta al respecto. Sin embargo, creo que los resolví de alguna manera mientras componía la pregunta. Así que me limitaré a publicar aquí mis preguntas, así como mis respuestas, por si alguien más se encuentra con la confusión.

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Pregunta 1: Para calcular el resultado de la propiedad de la disyunción, si sólo necesitamos presenciar la respuesta "sí" de un procedimiento (el único disyunto que hace que toda la disyunción sea verdadera), ¿por qué tienen que ser semidecidibles los demás disyuntos? ¿No pueden ser simplemente indecidibles?

Respuesta 1: La afirmación de semidecibilidad se refiere únicamente al valor de verdad de la propiedad completa, en lugar de los valores de verdad de los componentes individuales de la propiedad completa, o de cómo se configuran los componentes individuales para hacer que la propiedad completa sea verdadera. Es decir, la semidecibilidad tiene que trabajar con cualquier configuración de la propiedad individual. Si una de las disyunciones es indecidible, puede ser totalmente posible que esa misma disyunción sea la única que haga que toda la disyunción sea verdadera. Como consecuencia, todo nuestro procedimiento de ejecución en paralelo no puede dar un "sí" y porque ese subprocedimiento indecidible se queda atascado al encontrar que el disyunto correspondiente es realmente verdadero.

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Pregunta 2: Si podemos ejecutar una cantidad infinita de procedimientos en paralelo, ¿por qué no podemos hacer lo mismo para el caso de la conjunción? Si todos los subprocedimientos terminan en tiempo finito, ¿no podemos simplemente sumar sus resultados?

Respuesta 2: Aunque todos los subprocedimientos terminen en tiempo finito, la colección de un número infinito de ellos no necesita terminar en tiempo finito. Imagina que hay $\mathbb{N}$ número de procedimientos, cada uno de los cuales termina en $n \in \mathbb{N}$ tiempo. Para esperar que todos ellos terminen el tiempo total es ilimitado. Porque mientras digamos que podemos terminar la observación en $n$ tiempo, siempre habrá otro procedimiento que requiera $n + 1$ tiempo para terminar. Esto es diferente del caso de la disyunción, ya que en ese caso sólo hay que esperar a que termine uno de los procedimientos.