Problema de combinatoria - elección de cartas

Question

Esta es la pregunta: Se colocan 40 cartas en una caja, cada una con un número 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o 10, y cada número se introduce en cuatro cartas. Se extraen cuatro cartas de la caja al azar y sin reemplazo. Sea p la probabilidad de que las cuatro cartas tengan el mismo número. Sea q la probabilidad de que tres de las cartas lleven un número a y la otra lleve un número b que no sea igual a a. ¿Cuál es el valor de q/p?

Mi solución: Para p, podemos elegir cualquiera de las cartas 1~10 para los cuatro, así que tenemos una probabilidad de $\frac{10}{\binom{40}{4}}.$ Para la q, tenemos que elegir 2 tipos de tarjetas que nos lleven $\binom{10}{2}$ para el primer tipo de cartas, elegimos 3 para obtener $\binom{4}{3}$ y elegimos 1 para el siguiente tipo para $\binom{4}{1}.$ Por lo tanto, q = $\frac{45 \cdot 16}{\binom{40}{4}}.$ Así, dividiendo, obtenemos $\boxed{72}.$

¿Es correcta mi lógica?

Answer 1

Tu primera respuesta está bien, pero la segunda no. Para el segundo problema hay $10$ formas de elegir el número a escoger $3$ veces, y $\binom43=4$ conjuntos de $3$ tarjetas de ese número, por lo que hay $10\cdot4=40$ formas de elegir el triplete. Para cualquier triplete dado hay $9$ posibles valores del singleton y $4$ tarjetas de ese valor, por lo que hay $9\cdot4=36$ formas de elegir el singleton. Así, hay $40\cdot36=1440$ formas de elegir una mano del tipo deseado, y

$$q=\frac{1440}{\binom{40}4}=\frac{1440}{91390}=\frac{144}{9139}\,.$$