integrar $\int \sin^{4}x\cos^{2}x$

Question

$$\int \sin^{4}x\cos^{2}xdx$$

$$\int \sin^{4}x\cos^{2}xdx=\int (\sin x \cos x)^{2}\sin^2xdx=\int \left(\frac{\sin^{2}2x}{2}\right)\left(\frac{1}{2}-\frac{\cos2x}{2}\right)dx=\int \left(\frac{\sin^{2}2x}{4}-\frac{\sin^{2}2x\cos2x}{4}\right)dx=\frac{1}{4}\int ({\sin^{2}2x}-{\sin^{2}2x\cos2x})dx$$

Todavía no he conseguido encontrar $u$ sustitución

Answer 1

$$\int\sin^4(x)\cos^2(x)\space\text{d}x=$$ $$\int\sin^4(x)\left(1-\sin^2(x)\right)\space\text{d}x=$$ $$\int\left(\sin^4(x)-\sin^6(x)\right)\space\text{d}x=$$ $$\int\sin^4(x)\space\text{d}x-\int\sin^6(x)\space\text{d}x=$$

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Tienes que usar el doble de la fórmula de reducción:

$$\int\sin^m(x)\space\text{d}x=-\frac{\cos(x)\sin^{m-1}(x)}{m}+\frac{m-1}{m}\int\sin^{m-2}(x)\space\text{d}x$$

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$$\frac{\sin^5(x)\cos(x)}{6}+\frac{1}{6}\int\sin^4(x)\space\text{d}x=$$ $$\frac{\cos(x)\sin^3(x)\left(4\sin^2(x)-1\right)}{24}+\frac{1}{8}\int\sin^2(x)\space\text{d}x=$$ $$\frac{\cos(x)\sin^3(x)\left(4\sin^2(x)-1\right)}{24}+\frac{1}{8}\int\left[\frac{1}{2}-\frac{\cos(2x)}{2}\right]\space\text{d}x=$$ $$\frac{\cos(x)\sin^3(x)\left(4\sin^2(x)-1\right)}{24}+\frac{1}{8}\left[\frac{1}{2}\int1\space\text{d}x-\frac{1}{2}\int\cos(2x)\space\text{d}x\right]=$$ $$\frac{\cos(x)\sin^3(x)\left(4\sin^2(x)-1\right)}{24}+\frac{1}{8}\left[\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\int\cos(2x)\space\text{d}x\right]=$$

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Sustituir $u=2x$ y $\text{d}u=2\space\text{d}x$ :

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$$\frac{\cos(x)\sin^3(x)\left(4\sin^2(x)-1\right)}{24}+\frac{1}{8}\left[\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\int\cos(u)\space\text{d}u\right]=$$ $$\frac{\cos(x)\sin^3(x)\left(4\sin^2(x)-1\right)}{24}+\frac{1}{8}\left[\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\int\cos(u)\space\text{d}u\right]=$$ $$\frac{\cos(x)\sin^3(x)\left(4\sin^2(x)-1\right)}{24}+\frac{1}{8}\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin(u)}{4}\right]+\text{C}=$$ $$\frac{\cos(x)\sin^3(x)\left(4\sin^2(x)-1\right)}{24}+\frac{1}{8}\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin(2x)}{4}\right]+\text{C}$$

Answer 2

$$\cos^2x = 1 - \sin^2x$$

Conocido esto y el juego está hecho. Entonces hay que calcular

$$\int\sin^4(x) - \sin^6(x)\ \text{d}x$$

Lo cual es bastante fácil. ¿Puede proceder?

Sugerencia

Fórmula de reducción

$$\int\sin^m(x)\ \text{d}x = -\frac{\cos(x) \sin^{n-1}(x)}{n} + \frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}(x)\text{d}x$$

Answer 3

Su propio enfoque era más fácil que algunos de los sugeridos. Retomando desde donde lo dejaste, sólo tienes que usar la fórmula del ángulo doble e invertir la regla de la cadena, y tenemos $$\frac 14\int \frac 12(1-\cos 4x)dx-\frac 14\times \frac 16\sin^32x$$ ¿Puedes terminar esto ahora?