Número de submódulos de un álgebra de grupo para un grupo finito no abeliano

Question

Dejemos que $G$ sea un finito, no grupo abeliano y supongamos que tenemos el álgebra de grupo $\mathbb CG$ , donde $\mathbb C$ es el campo complejo. ¿Cómo puedo demostrar que hay infinitos submódulos?

Sé que si $G$ no es abeliana, entonces hay al menos un componente que es una matriz con dimensión al menos $2$ pero no sé cómo terminar, le agradeceré si alguien me ayuda

Answer 1

Por "ideal", me refiero a un ideal de izquierda. Escribo elementos de $\mathbb C^n$ como vectores columna.

Desde $\mathbb C$ tiene la característica $0$ existe $r_1, \ldots, r_k\in\mathbb N$ (correspondientes a representaciones irreducibles de $G$ ) tal que: $$\mathbb C[G]\cong\prod_{i=1}^k M_{r_i}(\mathbb C)$$ Desde $G$ es no abeliana, $\mathbb C[G]$ es no conmutativo. Por lo tanto, el $r_i$ no pueden ser todos $1$ . WLOG, $r_1\ge 2$ . Basta con demostrar que $M_{r_1}(\mathbb C)$ tiene infinitos ideales. Para cualquier $z\in\mathbb C$ , defina el siguiente ideal de $M_{r_1}(\mathbb C)$ : $$E_z:=\left\{\left.\begin{pmatrix} v & z v & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}\right|v\in\mathbb C^{r_1}\right\}$$ Entonces $\{E_z|z\in\mathbb C\}$ es una familia infinita de ideales de $M_{r_1}(\mathbb C)$ .