Subespacios lineales de dimensión máxima en una cuádrica proyectiva.

Question

Dejemos que $k$ sea un campo algebraicamente cerrado de característica $\neq 2$ y $Q_r\subset \mathbb P^n_k$ la hipersuperficie cuádrica dada por la ecuación $x_0^2+\cdots+x_r^2=0 \;(0\leq r\leq n)$ en el proyectivo $n$ -espacio sobre $k$ con coordenadas $x_0, \cdots,x_n$ .
No hace falta decir que $Q_r$ es singular si $r\lt n$ .

Pregunta: ¿Cuál es la dimensión máxima $M=M(n,r)$ de los subespacios lineales $L\subset Q_r$ en función de $n$ y $r$ ?
Por ejemplo $M(3,3)=1$ , $M(2,1)=1$ y $M(n,0)=n-1$ .

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que para una forma cuadrática no degenerada en un espacio vectorial $V$ la dimensión máxima de un subespacio isotrópico es $$ \lfloor \dim(V)/2 \rfloor. $$ De hecho, si existe un subespacio isotrópico mayor, es fácil ver que contiene un vector del núcleo de la forma. Por otra parte, la existencia de dicho subespacio isotrópico puede demostrarse fácilmente por inducción en $\dim(V)$ .

A continuación, si una forma cuadrática es degenerada y $K \subset V$ es su espacio núcleo, entonces un subespacio isotrópico máximo $I \subset V$ contiene $K$ (por lo demás $I + K$ es un subespacio isotrópico mayor).

Por último, los subespacios isotrópicos en $V$ que contiene $K$ están en biyección con subespacios isotrópicos en $V/K$ (para la forma cuadrática inducida) a través del mapa, que toma $I \subset V$ a $I/K \subset V/K$ .

Combinando todo esto, está claro que la dimensión de un subespacio máximo es $$ \dim K + \lfloor \dim(V/K)/2 \rfloor. $$ Restando 1 para obtener la dimensión del espacio proyectivo asociado, se obtiene $$ (n-r) + \lfloor (r+1)/2 \rfloor - 1. $$