¿cuál es la relación entre el $\max(X-Y)$ y $\max(X)-\max(Y)$

Question

Cuál es la relación $(=,<,>,\leq,\geq)$ entre el $\max(X-Y)$ y $\max(X)-\max(Y)$ , donde $X,Y$ en $R$

Answer 1

Intentando con $X = Y = \{1,2\}$ obtenemos $$ \max(X-Y) = 1\\ \max(X) - \max(Y) = 0 $$ Intentando con $X = Y = \{1\}$ obtenemos $$ \max(X-Y) = 0\\ \max(X)-\max(Y) = 0 $$ lo que significa que si alguno de ellos debe aplicarse, debe ser $\max(X-Y) \geq \max(X)-\max(Y)$ . Por supuesto, queda por demostrar que realmente hace aplicar.

Answer 2

Claramente $$X = (X - Y) + Y \le \max(X - Y) + \max(Y)$$ por la definición del máximo. Como el término de la derecha es un límite superior para $X$ obtenemos $$\max(X) \le \max(X - Y) + \max(Y),$$ lo que equivale a $$\max(X) - \max(Y) \le \max(X - Y)$$

Esta prueba también funciona si sustituimos el máximo por un supremum.