Sí, es cierto,
la cuantización canónica funciona justo cuando funciona .
En mi opinión, es erróneo y peligroso pensar que ésta es la forma de construir teorías cuánticas, aunque a veces funcione: produjo resultados sorprendentes como la explicación teórica del espectro del hidrógeno.
Sin embargo, después de todo el mundo es cuántico y la física clásica es una aproximación: el procedimientos de cuantificación ¡ir en la dirección equivocada! De hecho, hay varios resultados que no son válidos en contra de una validez ingenua de tales procedimientos, conocidos acumulativamente como Teorema de Groenewold -Van Hove .
Sin embargo, la pregunta sigue siendo: ¿por qué existe esa extraña relación entre corchetes de Poisson y conmutadores?
De hecho, esta relación motiva los procedimientos de cuantificación ingenua.
En mi opinión, la respuesta más profunda se basa en la existencia de algún grupos de simetría en común con teoría clásica y cuántica .
Estos grupos $G$ de las transformaciones son Grupos de Lie y, por tanto, se caracterizan por su Álgebras de Lie $\mathfrak{g}$ que son espacios vectoriales dotados de una estructura conmutadora $[a,b] \in \mathfrak{g}$ si $a,b\in \mathfrak{g}$ . Podemos pensar en $a\in \mathfrak{g}$ como generador de un subgrupo de un parámetro de $G$ usualmente denotado por $\mathbb{R} \ni t \mapsto \exp(ta) \in G$ . Si $a_1, \ldots, a_n \in \mathfrak{g}$ forman una base vectorial, se debe mantener $$[a_i,a_j] = \sum_k C^k_{ij}a_k\tag{1}\:,$$ para algunas constantes reales $C_k^{ij}$ . Estas constantes determinan (casi) por completo $G$ . Por ejemplo, si $G=SO(3)$ el grupo de rotaciones 3D, los subgrupos de un parámetro son rotaciones alrededor de ejes fijos y siempre es posible elegir $C_k^{ij}= \epsilon_{ijk}$ (el llamado símbolo de Ricci).
En la física clásica, se representa la teoría en el Formulación hamiltoniana . Los estados son puntos de una $2n$ colector de dimensiones suaves $F$ llamado el espacio de fases con clases de coordenadas preferidas, dicho canónico , denotado por $q^1,\ldots, q^n, p_1,\ldots, p_n$ .
Si $G$ es un grupo de simetría del sistema, entonces existe una representación fiel $G \ni g \mapsto \tau_g$ en términos de transformaciones (canónicas) $\tau_g : F \to F$ que mueven los estados clásicos según la transformación $g$ . La representación $G \ni g \mapsto \tau_g$ admite una descripción infinitesimal en términos de transformaciones canónicas infinitesimales estrictamente análogas a la descripción infinitesimal de $G$ en términos de su álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ . En este caso la correspondiente del álgebra de Lie es un espacio lineal de funciones suaves, $A \in C^\infty(F, \mathbb{R})$ que representan los observables clásicos, y el corchete de Poission $\{A,B\} \in C^\infty(F, \mathbb{R})$ .
Se produce un isomorfismo (realmente central) entre el álgebra de Lie $(\mathfrak{g}, [\:,\:])$ y el álgebra de Lie similar $(C^\infty(F, \mathbb{R}), \{\:\:\})$ hecho de cantidades físicas donde el conmutador $\{\:\:\})$ es sólo el famoso Soporte de Poisson .
Si $a_k\in \mathfrak{g}$ corresponde a $A_k\in C^\infty(F, \mathbb{R})$ y (1) es válido para $G$ entonces $$\{A_i,A_j\} = \sum_k C^k_{ij}A_k + c_{ij}1 \tag{2}$$ donde las constantes adicionales $c_{ij}$ , llamado cargos centrales dependen de la representación. $$a \mapsto A\tag{2'}$$ define un isomorfismo (proyectivo o central) de las álgebras de Lie.
Al pasar a la descripción cuántica, si $G$ sigue siendo un grupo de simetría existe una estructura matemática similar. Aquí, el espacio de estados (puros) es un espacio de Hilbert complejo $H$ y los estados (puros) son vectores normalizados $\psi\in H$ hasta las fases.
Si $G$ es un grupo de simetría existe una representación unitaria (proyectiva/central) $G \ni g \mapsto U_g$ en términos de operadores unitarios $U_g : H\to H$ . Los subgrupos de un parámetro de $G$ están ahora representados por grupos unitarios de forma exponencial (ignoraré sistemáticamente un factor $1/\hbar$ delante del exponente) $$\mathbb{R} \ni t \mapsto e^{-it \hat{A}}\:,$$ donde $\hat{A}$ es un operador autoadjunto (únicamente determinado).
De nuevo, si (1) es válido y $\hat{A}_k$ corresponde a $a_k\in \mathfrak{g}$ tenemos que $$[-i\hat{A}_i,-i\hat{A}_j]= -i\sum_k C^k_{ij}\hat{A}_k -i c'_{ij}I \tag{3}$$ donde $[\:,\:]$ es el conmutador de operadores. En otras palabras $$a \mapsto -i\hat{A} \tag{3'}$$ define un isomorfismo (proyectivo) de las álgebras de Lie.
Subrayo que los isomorfismos (2') y (3') existen de forma independiente y sólo se deben a la suposición de que $G$ es un grupo de simetría del sistema y la naturaleza de la maquinaria de la teoría de la representación.
Utilizando estos dos isomorfismos, podemos construir un tercer isomorfismo (suponiendo que $c_{ij}=c'_{ij}$ ) que interpola entre el ámbito clásico y el cuántico.
De este modo, si $A \in C^\infty(F, \mathbb{R})$ corresponde a $\hat{A} : H \to H$ (en realidad se debería restringir a un dominio denso adecuado), entonces $$\{A,B\} \quad \mbox{corresponds to} \quad i[\hat{A},\hat{B}]\tag{4}$$ al comparar (2) y (3). (He vuelto a ignorar un factor $\hbar$ ya que he asumido $\hbar=1$ en la expresión exponencial de los grupos unitarios de un parámetro).
Ahora está claro que (4) es la razón de la principio de correspondencia de la cuantización canónica cuando el mismo grupo de simetría existe tanto en la física clásica como en la cuántica.
En la física no relativista, el grupo de simetría relevante es el Grupo Galileo . Esto juega un papel crucial tanto en la física clásica como en la cuántica no relativista.
Así que debemos tener una representación (central) de su álgebra de Lie tanto en el hamiltoniano clásico como en la física cuántica.
Basándonos en la discusión anterior, concluimos que el isomorfismo que relaciona las representaciones clásicas y cuánticas isomorfas del grupo Galileo -- el mapa que asocia las cantidades clásicas a los operadores correspondientes preservando las relaciones de conmutación -- incluye el llamado procedimiento de cuantificación canónica
Ilustremos este hecho con detalles. El álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ incluye un generador $p$ que, en la teoría hamiltoniana clásica, describe el momento (generador de los subgrupos de traslaciones) y otro generador $k$ (generador del subgrupo de impulso clásico) correspondiente a la posición hasta una constante correspondiente a la masa del sistema $m$ .
Centrémonos en los tres niveles.
Geométricamente $$[k,p]=0\:.$$ En la formulación hamiltoniana, aparece una carga central $$\{k,p\}= m 1$$ para que, definiendo $x:= k/m$ tenemos $$\{x,p\}= 1\:.$$ En la física cuántica, en vista de la discusión anterior, deberíamos encontrar para los generadores/observables correspondientes $$[-i\hat{K},-i\hat{P}]= -im \hat{I}$$ por lo tanto, definiendo $\hat{X}:= \frac{1}{m}\hat{K}$ , $$[\hat{X},\hat{P}]= i \hat{I}$$
Esta correspondencia, que preserva la relación de conmutación, puede extenderse a continuación desde los pocos observables iniciales que describen el álgebra de Lie a un álgebra más grande de observables que dice el álgebra envolvente universal . Se construye a partir del álgebra de Lie del grupo Galileo. Incluye, por ejemplo, polinomios de observables.
Resumiendo: hay algunos grupos de simetría fundamentales en común con la física clásica y la cuántica. Estos grupos son los bloques de construcción utilizados para construir la teoría, ya que están profundamente conectados a nociones básicas como el concepto de marco de referencia y principios físicos básicos como el principio de relatividad. La existencia de estos grupos crea un vínculo entre la física clásica y la cuántica. Este vínculo pasa por la estructura conmutadora de las representaciones (proyectivas) de dicho grupo que es (proyectiva) isomorfa al álgebra de Lie del grupo de simetría. Los procedimientos de cuantificación sólo reflejan esta relación fundamental. A continuación, las dos teorías evolucionan en direcciones disjuntas y, por ejemplo, en la teoría cuántica, surgen otros grupos de simetría sin correspondencia clásica.
