Sigma Álgebra Inclusión

Question

Dejemos que $S$ y $T$ sea una colección de subconjuntos de $\mathbb{R}^2$ tal que $S \subset T$ . Sea $\sigma(S)$ sea el más pequeño $\sigma$ -que contiene $S$ y que $\sigma(T)$ sea el más pequeño $\sigma$ -que contiene $T$ .

Reclamación: $\sigma(S) \subset \sigma(T)$

Prueba: Sea $A \in \sigma(S)$ entonces $A$ está en cualquier álgebra sigma que contenga $S$ . Esto implica entonces que $A$ está en cualquier álgebra sigma que contenga $T$ como $S \subset T$ . Entonces $A$ está en la intersección de todas las álgebras sigma que contienen $T$ . Por lo tanto, $A \in \sigma(T)$ . Así, $\sigma(S) \subset \sigma(T)$ .

Por favor, dígame si mi proceso de pensamiento es correcto. Si no lo es, ayúdenme a corregirlo.

Answer 1

El razonamiento es aún más sencillo: $\sigma(T)$ es un sigma-álgebra que contiene $S$ , como $S \subseteq T$ y $T \subseteq \sigma(T)$ . $\sigma(S)$ es el El más pequeño tal $\sigma$ -y por lo tanto $\sigma(S) \subseteq \sigma(T)$ .