Evaluar $\operatorname{lim}_{n\to\infty} \int_0^\infty \frac{n^2x}{1+x^2} e^{-n^2x^2} dx$

Question

Evalúe el siguiente límite para $a=0$ y para $a>0$ $$\lim_{n\to\infty} \int_a^\infty \frac{n^2x}{1+x^2} e^{-n^2x^2} dx.$$

Para $a>0$ puedo utilizar el teorema de convergencia dominada como $\frac{n^2x}{1+x^2} e^{-n^2x^2}\leq \frac{1}{x(1+x^2)}\in L^1(a,\infty)$ entonces el límite se puede poner en la integral para obtener el límite como $0$ . Pero no estoy seguro de cómo enfocar el caso $a=0$ . ¿Puede darme alguna pista, por favor?

Answer 1

Haciendo un cambio de variable, llame a $nx=t$ . Entonces su límite se convierte en $$\lim_{n \to + \infty} \int_0^{+ \infty} \frac{t}{1+(t/n)^2} e^{-t^2} \mathrm dt$$ Desde $$0 \le \frac{t}{1+(t/n)^2} e^{-t^2} \le te^{-t^2}$$ Se puede aplicar el teorema de convergencia dominada, de manera que el límite es igual a $$\int_0^{+ \infty} t e^{-t^2}\mathrm dt = \frac{1}{2}$$

Answer 2

Sólo por curiosidad. $$\frac{n^2x}{1+x^2} e^{-n^2x^2}=e^{n^2}n^2 x\frac{e^{-n^2(1+x^2)}} {1+x^2 }$$ $$I=\int\frac{n^2x}{1+x^2} e^{-n^2x^2}\,dx=\frac 12e^{n^2}n^2\int \frac{e^{-n^2(1+x^2)}} {1+x^2 }\,d(1+x^2)$$ Supongo que el cambio de variable $t=1+x^2$ está claro y hace $$I=\frac{1}{2} e^{n^2} n^2 \,\text{Ei}\left(-n^2 \left(1+x^2\right)\right)$$ donde aparece la función integral exponencial. $$J=\int_0^\infty\frac{n^2x}{1+x^2} e^{-n^2x^2}\,dx=\frac{1}{2} e^{n^2} n^2\, \Gamma \left(0,n^2\right)$$ cuya expansión es $$J=\frac{1}{2}-\frac{1}{2 n^2}+O\left(\frac{1}{n^4}\right)$$