Dibujar canicas de colores con restricciones

Question

¿De cuántas maneras se pueden extraer 6 canicas (sin reemplazo) de una bolsa que contiene 12 canicas amarillas, 10 rojas y 9 azules, de manera que haya al menos 1 amarilla y no más de 3 rojas?

Obtuve la respuesta 669,585 y la forma en que lo resolví implica un montón de sumas, casi demasiado para hacerlo a mano; escribí un código para hacerlo. Así que me pregunto si estoy en lo cierto.

Aquí están mis cálculos (salida del código):

12C1 * 10C0 * 9C5 = 12 * 1 * 126 = 1512
12C1 * 10C1 * 9C4 = 12 * 10 * 126 = 15120
12C1 * 10C2 * 9C3 = 12 * 45 * 84 = 45360
12C1 * 10C3 * 9C2 = 12 * 120 * 36 = 51840
12C2 * 10C0 * 9C4 = 66 * 1 * 126 = 8316
12C2 * 10C1 * 9C3 = 66 * 10 * 84 = 55440
12C2 * 10C2 * 9C2 = 66 * 45 * 36 = 106920
12C2 * 10C3 * 9C1 = 66 * 120 * 9 = 71280
12C3 * 10C0 * 9C3 = 220 * 1 * 84 = 18480
12C3 * 10C1 * 9C2 = 220 * 10 * 36 = 79200
12C3 * 10C2 * 9C1 = 220 * 45 * 9 = 89100
12C3 * 10C3 * 9C0 = 220 * 120 * 1 = 26400
12C4 * 10C0 * 9C2 = 495 * 1 * 36 = 17820
12C4 * 10C1 * 9C1 = 495 * 10 * 9 = 44550
12C4 * 10C2 * 9C0 = 495 * 45 * 1 = 22275
12C5 * 10C0 * 9C1 = 792 * 1 * 9 = 7128
12C5 * 10C1 * 9C0 = 792 * 10 * 1 = 7920
12C6 * 10C0 * 9C0 = 924 * 1 * 1 = 924

sum = 669585

¿Es esto correcto o me estoy perdiendo algo? TIA.

Answer 1

Si fuera un $\color{red}{\text{combinatorics}}$ pregunta:

Para resolver este tipo de problemas el mejor método es _funciones generadoras_ tal que

• La función generadora de amarillos es $$\frac{x(1-x^{12})}{1-x}=x+x^2+...+x^{12}$$

• La función generadora de rojos es $$\frac{1-x^4}{1-x}=1+x+x^2+x^3$$

• La función generadora de azules es $$\frac{1-x^{10}}{1-x}$$

Lo que se hace es encontrar el coeficiente de $x^{6}$ en la expansión de $$\bigg(\frac{x(1-x^{12})}{1-x}\bigg)\bigg(\frac{1-x^4}{1-x}\bigg)\bigg(\frac{1-x^{10}}{1-x}\bigg)$$

Entonces, la respuesta es $18$

Sin embargo, es un $\color{blue}{\text{probability}}$ pregunta :

• La función generadora de amarillos es $$C(12,1)x +C(12,2)x^2+..+C(12,12)x^{12}=[(1+x)^{12} -1]$$

• La función generadora de rojos es : $$C(10,0)x^0 +C(10,1)x +C(10,2)x^2 +C(10,3)x^3=1+10x+45x^2 +120x^3$$

• La función generadora del azul es : $$C(9,0)+C(9,1)x+..+C(9,9)x^9=(1+x)^9$$

Ahora, encuentra $$[x^6]\bigg([(1+x)^{12} -1](1+10x+45x^2 +120x^3)(1+x)^9\bigg)$$

EXPANSIÓN

Así que, ¡tienes razón! La respuesta es $669,585$

Answer 2

Si es una pregunta de combinatoria:

Si $R$ es el número de canicas rojas extraídas, dado $0 \leq R \leq 3$ , estamos buscando un número de solución para,

$3 \leq Y + B \leq 6$ , donde $Y$ y $B$ son el número de canicas amarillas y azules respectivamente. Pero dado que debemos tener al menos una canica amarilla, $Y \ge 1$ . Utilizando $Y = y + 1$ donde $y \ge 0$ ,

Esto equivale al número de soluciones de $2 \leq y + B \leq 5$

Utilizando estrellas y barras, es decir $~ \displaystyle {5 + 3 - 1 \choose 3 - 1} - {1 + 3 - 1 \choose 3 - 1} = 18$

Si tu pregunta está relacionada con la probabilidad como mencionas en los comentarios, entonces lo que has hecho hasta ahora para encontrar el numerador es correcto. Sin embargo, puedes simplificar tu trabajo -

Número de formas de elegir seis canicas con como máximo tres canicas rojas

$ \displaystyle = {10 \choose 0} {21 \choose 6} + {10 \choose 1} {21 \choose 5} + {10 \choose 2} {21 \choose 4}+ {10 \choose 3} {21 \choose 3}$

$ = 686679$

Número de formas de elegir seis canicas con como máximo tres canicas rojas y no canicas amarillas

$ \displaystyle = {10 \choose 0} {9 \choose 6} + {10 \choose 1} {9 \choose 5} + {10 \choose 2} {9 \choose 4}+ {10 \choose 3} {9 \choose 3}$

$ = 17094$

Número de formas de elegir seis canicas con como máximo tres canicas rojas y al menos una canica amarilla

$ = 686679 - 17094 = 669585$