Cálculo de la probabilidad con una función de densidad a trozos

Question

Traté de resolver esto, y estoy bastante seguro de que estoy integrando esto correctamente, sin embargo, mi manual de solución muestra -1 en la ecuación al hacer esto y no sé por qué. La respuesta en el manual de soluciones es correcta.

Problema: Encuentre la función de distribución correspondiente y utilícela para determinar la probabilidad de que una variable aleatoria que tenga la función de distribución tome un valor entre 0,4 y 1,6.

f(x) = x for 0 < x < 1
       2-x for 1 <= x < 2
       0 elsewhere

así que para F(0,4 < x < 1,6) lo hice después de integrar:
2(1.6) - [(1.6)^2 / 2] - [(0.4)^2 / 2] = 1.84
Sin embargo, la respuesta correcta es 0,84. El manual de soluciones tiene un -1 en su ecuación, pero no sé cómo lo han conseguido.

Answer 1

Desde $f(t)$ está definida a trozos, hay que tener cuidado con la integral. Este es el origen de tu error.

Si $0 < x < 1$ , $$F(x) = \int_0^x f(t) dt = \int_0^x t dt = \left.\frac{1}{2}t^2\right|_0^x = \frac{1}{2}x^2,$$ que tú tienes.

Sin embargo, si $1 \leq x < 2$ entonces hay que romper la integral que da como resultado $F(x)$ en pedazos. Esto es $$F(x) = \int_0^x f(t) dt = \int_0^1 t dt + \int_1^x (2-t) dt = \left.\frac{1}{2}t^2\right|_0^1 + \left[2t - \frac{1}{2}t^2\right]_1^x $$ $$= \frac{1}{2} + 2x - \frac{1}{2}x^2 - 2 + \frac{1}{2} = 2x - \frac{1}{2}x^2 - 1.$$ Aquí es donde el $-1$ entra.

Este es un error común. Si te hace sentir mejor, mis estudiantes de probabilidad tropiezan con esto todo el tiempo. :)

Answer 2

En primer lugar, las probabilidades son de $0$ a $1$ Así que ciertamente se equivoca.

En segundo lugar, has calculado mal la fdc para el intervalo $1 \leq x < 2$ . Debe ser $$F(x) = \int_0^1 t \, \mathrm{d}t + \int_1^x 2-t \, \mathrm{d}t.$$ Has olvidado la primera parte, y has integrado la segunda parte de $0$ en lugar de desde $1$ . Desde $$\int_0^1 t \, \mathrm{d}t = 1/2$$ mientras que $$\int_0^1 2-t \, \mathrm{d}t = 3/2,$$ usted contesta $1/2$ demasiado poco y $3/2$ demasiado, para una ganancia total de $+1$ .