Probando $y=\tan(x)$ es de la forma $P_{n+1}(\tan(x))$

Question

Así que, como dice el título, tengo que demostrar mediante inducción que la enésima derivada de $y=\tan(x)$ es de la forma $P_{n+1}(\tan(x))$ , donde $P_{n+1}$ es un polinomio de grado $n+1$

¿Cuál es la intuición detrás de esto? Normalmente me gustaría encontrar una fórmula general para la derivada de $\tan(x)$ y luego seguir los pasos de la inducción matemática. Lo que me llevaría:

$n = k+1$

para todo n.

¿Cómo puedo abordar este problema?

Gracias de antemano

Answer 1

Tenemos $y= \tan x$ así que \begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} =\sec^2 x =1+\tan^2 x =p_2(\tan x). \end{eqnarray*} Supongamos ahora que \begin{eqnarray*} \frac{d^{n}y}{dx^{n} } =\sum_{r=0}^{n+1} a_{n,r} \tan^r x =p_{n+1}(\tan x) \end{eqnarray*} (donde $a_{n,r}$ son constantes), es decir, un polinomio en $ \tan x $ . La diferenciación da \begin{eqnarray*} \frac{d^{n+1}y}{dx^{n+1} } =\sum_{r=1}^{n+1} r a_{n,r} \tan^{r-1} x (1+\tan^2 x) =p_{n+2}(\tan x) \end{eqnarray*} que es claramente un polinomio en $ \tan x $ .

Answer 2

Dejemos que $f(x)=\tan x$ el paso base es $f'(x)=1+\tan^2x$ que es un polinomio en $\tan x$ de grado $2$ .

Supongamos que $$ f^{(n)}(x)=P(\tan x) $$ donde $P(X)$ es un polinomio de grado $n+1$ . Entonces, por la regla de la cadena, $$ f^{(n+1)}(x)=(1+\tan^2x)P'(\tan x) $$ Tenga en cuenta que el grado de $P'(X)$ es $n$ Así que si $Q(X)=(1+X^2)P'(X)$ entonces el grado de $Q(X)$ es $n+2$ y $f^{(n+1)}(x)=Q(\tan x)$ .