$\lim x_n^{x_n}=4$ demostrar que $\lim x_n=2$

Question

Que $(x_n)$ ser una secuencia de números reales, tal que:

$\lim x_n^{x_n}=4$, demostrar que $\lim x_n=2$

No estoy seguro si mi prueba es el adecuado.

Supuse que $\lim x_n $ no es criterio de Cauchy 2 y utilizando:

$|x_n-2|>\epsilon$ so $ x_n>\epsilon+2$ or $x_n<-\epsilon+2$

$|x_n^{x_n}-4|<\epsilon $ so $x_n<\sqrt[x_n]{\epsilon+4}$

y luego combinamos lo que has encontrado y obtener: $\epsilon+2<\sqrt[x_n]{\epsilon+4}$

$\epsilon+4<(\epsilon+2)^2<(\epsilon+2)^{\epsilon+2}<(\epsilon+2)^{x_n}<\epsilon+4$ y que no es cierto así $\lim x_n=2$.

¿Está bien eso?

Edit: sólo quería saber si mi solución fue correcta pero el otro post había ayudado, gracias.

Answer 1

Hay elementos interesantes en su prueba. Sin embargo, la forma de estado que puede ser mejorado:

1. Usted menciona de Cauchy criterios, pero lo que se utiliza no es de Cauchy criterios.
2. Usted supone que $\lim x_n$ no es igual a $2$. No se puede decir $|x_n-2|>\epsilon$ sin; indicándolo así de lo $n$ tu estás hablando. Se debe indicar que usted tiene una larga $(x_{\beta_n})$ que $|x_{\beta_n}-2|>\epsilon$.
3. Desde allí se tiene una subsubsequence con $x_{\beta_n^\prime}>\epsilon+2$ o $x_{\beta_n^\prime}<-\epsilon+2$.
4. A continuación, puede seguir con el resto de sus argumentos.

Sin embargo, me parece que es totalmente diferente de la prueba puede utilizar el mapa de la $f : x \mapsto x^x$, que es continua, estrictamente creciente para $x \in (1,+\infty)$ y por lo tanto invertible alrededor de $x=2$, con una continua inversa. La conclusión entonces es sencillo.

Answer 2

La función $g:\left(0,\infty\right)\rightarrow\mathbb{R}$ prescritos por $x\mapsto x^{x}$ es continuo.

Si $\left(x_{n}\right)$ es una secuencia de $\left(0,\infty\right)$ $\lim_{n\rightarrow\infty}g\left(x_{n}\right)=4$ entonces eventualmente $1\leq x_{n}\leq3$ para que la secuencia tenga subsecuencias convergentes que tienen límites en $\left[1,3\right]$.

Si $\left(x_{n_{k}}\right)$ es un subsequence convergente arbitraria que $x\in\left[1,3\right]$ como límite entonces la continuidad de $g$ asegura que $g\left(x\right)=4$por lo tanto el $x=2$%.

Ahora la conclusión está permitida que $\left(x_{n}\right)$ sí mismo es convergente y tiene $2$ como límite.