Estoy siguiendo las conferencias de Stephen Boyd sobre la optimización convexa y estoy teniendo problemas para entender el diagrama en este captura de pantalla .
He leído algunas respuestas como esta un y esto un .
Mi pregunta es que tengo problemas para entender por qué $$a^Tx = b$$ implica que a y x son perpendiculares.
Una forma de entenderlo, siguiendo la respuesta de este puesto es $$a^Tx = b \implies a^T x - a^T x_b = 0 $$ para algunos $x_b$ y así $a^T (x - x_b) = 0$ . Entiendo por qué $a$ será perpendicular a $x - x_b$ pero tengo problemas para ver por qué $a$ será perpendicular a $x$ .
Una forma de pensar en ello es $x_b$ es una solución particular de la ecuación $a^Tx = b$ y como se trata de un programa lineal, cualquier $a' = ka$ y $x' = x_b/k$ para los casos en los que el valor es distinto de cero $k$ resolverá para $a'^T x' = b$ . Por lo tanto, $x_b$ es sólo una de las soluciones, y las otras soluciones son de la forma $x_b/ k$ para los casos en los que el valor es distinto de cero $k$ . Obsérvese que las demás soluciones son todas paralelas a $x_b$ y creo que la combinación lineal de líneas paralelas es paralela a cualquiera de ellas.
Por lo tanto, ya que $x$ y $x_b$ son paralelos, $x - x_b$ es paralelo a $x$ y así $a^T$ que es perpendicular a $x - x_b$ es perpendicular a $x$ .
Sin embargo, tengo problemas para ver esto para fijo $a$ . En particular, es $a$ ¿Arreglado?
