Demuestra que siempre tenemos $ 2n \mid \varphi(m^n+p^n) $

Question

Para cada $ a \Bbb N^*$ , denotado por $\varphi (a) $ es el número de enteros positivos que no superan $a$ y coprima a $a$ .

Dejemos que $n, m, p \Bbb N^*, m \ne p$ . Demostrar que siempre tenemos $2n \mid \varphi(m^n+p^n)$

Answer 1

$\require{begingroup}\begingroup\let\phi\varphi\let\geq\geqslant\let\leq\leqslant\DeclareMathOperator\ord{ord}$ Idea 1: Demostrar que existe un elemento de orden $2n$ modulo $m^n+p^n$ .

Idea 2: $m$ tiene orden $n$ modulo $m^n-1$ .
De hecho, para $x^k$ para ser $\equiv1\pmod{m^n-1}$ necesitamos $k\geq n$ .

Idea clave: $m$ tiene orden $2n$ modulo $m^n+1$ .
De hecho, desde $m^{2n}\equiv1\pmod{m^n+1}$ tenemos $\ord_{m^n+1}(m)\mid 2n$ . Por otro lado, para $m^k$ para ser $\equiv1\pmod{m^n+1}$ necesitamos $k>n$ . Por lo tanto, $\ord_{m^n+1}(m)=2n$ .

Idea clave, generalizada: Si $\gcd(m,p)=1$ entonces $mp^{-1}$ (la inversa tomada mod $m^n+p^n$ ) tiene un orden $2n$ modulo $m^n+p^n$ . (Tenga en cuenta que $\gcd(p,m^n+p^n)$ es $1$ así que $p^{-1}$ existe).
Prueba.
Tenemos $m^{2n}\equiv p^{2n}$ así que $(mp^{-1})^{2n}\equiv1$ . Por otro lado, $(mp^{-1})^k\equiv1$ implica $m^n+p^n\mid m^k-p^k$ Así que $k>n$ . Por lo tanto, $\ord_{m^n+p^n}(mp^{-1})=2n$ .

Corolario: Si $\gcd(m,p)=1$ entonces $2n\mid\phi(m^n+p^n)$ .

Reducción a $\gcd(m,p)=1$ :
Dejemos que $d=\gcd(m,p)$ y $m=dm_0$ , $p=dp_0$ así que $\gcd(m_0,p_0)=1$ . Entonces $$2n\mid\phi(m_0^n+p_0^n)\mid\phi(d^n\cdot(m_0^n+p_0^n))=\phi(m^n+p^n)$$ porque $x\mid y$ implica $\phi(x)\mid\phi(y)$ . $\endgroup$