Un derivado "debería ser sencillo

Question

¡Ayuda! No puedo probar que $$\Bigl[\log(x+\sqrt{x^2 + 1})\Bigr]' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$$ Sigo recibiendo una respuesta horrible a saber $$\frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{x\sqrt{x^2 + 1} + 1 + x^2}$$ ¿esto se cancela en absoluto?

Answer 1

Tenemos en su denominador $$ x\sqrt{x^2 + 1} + (1 + x^2) = \bigl(x + \sqrt{x^2 + 1}\bigr)\cdot \sqrt{x^2 + 1}$$ por lo que al cancelar $x + \sqrt{x^2 + 1}$ obtenemos $\frac 1{\sqrt{x^2 + 1}}$ como deseaba.

Answer 2

$$(x+\sqrt{x^2+1})\sqrt{x^2+1}=x\sqrt{x^2+1}+1+x^2$$

Answer 3

Las otras respuestas son bastante necesarias, pero hay que tener en cuenta que trabajando de forma ordenada se obtiene

$$\frac{d}{{dx}}\log \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) = \frac{{\frac{d}{{dx}}\left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)}}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}=$$

$$\frac{{1 + \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}$$

Ahora, antes de hacer cualquier otra cosa, toma ${\sqrt {1 + {x^2}} }$ como factor en el denominador. Se obtiene

$$\frac{{1 + \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\frac{{1 + \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{1 + \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}} = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$$

A veces es útil no "precipitarse" al resolver problemas o evaluar expresiones.